Question

11．科学家预测在银河系里可能有一个“与地球相近似”的行星．这个行星存在孕育生命的可能性，若质量可视为均匀分布的球形“与地球相近似”的行星的密度为ρ，半径为R，自转周期为T₀，万有引力常量为G，则（　　）

• A． 该“与地球相近似”的行星的同步卫星的运行速率为$\frac{2πR}{{T}_{0}}$
• B． 该“与地球相近似”的行星的同步卫星的轨道半径为$\frac{ρG{T}_{0}^{2}}{3π}$
• C． 该“与地球相近似”的行星表面重力加速度在两极的大小为$\frac{4}{3}$GρRπ
• D． 该“与地球相近似”的行星的卫星在星球表面附近做圆周运动的速率为2πR$\sqrt{\frac{ρG}{3π}}$

Answer 1

分析 利用行星两极物体所受的万有引力等于重力求出重力加速度，根据万有引力提供向心力结合行星密度可以求出行星的卫星在星球表面圆周运动的速度，行星同步卫星的周期等于行星自转周期，根据万有引力提供向心力得到轨道半径，行星运行速率根据v=$\frac{2πR}{T}$求解．

解答 解：A、根据匀速圆周运动线速度公式以及行星的同步卫星周期T₀，知其运行速率为v=$\frac{2πr}{{T}_{0}}$，r是行星的同步卫星的轨道半径，并不是R，故A错误；
B、行星对其同步卫星的万有引力提供向心力，设同步卫星轨道半径为r，
则有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}r$，且M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，解得：r=$\root{3}{\frac{ρG{T}_{0}^{2}}{3π}}$，故B错误；
C、由mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：g=$\frac{4}{3}GρRπ$，故C正确；
D、星球表面附近圆周运动的速度为v=$\sqrt{gR}$=2πR$\sqrt{\frac{ρG}{3π}}$，故D正确；
故选：CD．

点评 卫星绕行星做匀速圆周运动的物理模型，关键是抓住两条核心规律：一是万有引力等于向心力，二是重力等于万有引力，另外要注意同步卫星的特点：定周期、定轨道、定高度．