Question

7．如图所示，在平面坐标系xOy中，x≤0区域有垂直于y轴的匀强电场E=0.4N/C，x＞0有三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，区域边界垂直于x轴，区域I的宽度L₁=0.05m，区域Ⅱ的宽度L₂=0.1m，区域Ⅲ的宽度L₃未知，三个区域都有匀强磁场，磁感应强度大小相等都为B=0.02T，Ⅰ、Ⅲ中磁场方向垂直于坐标平面向外，Ⅱ中磁场方向垂直于坐标平面向里；P点在y轴上，纵坐标y_P=0.15m，A点与P点纵坐标相等，与P点的距离d=1.0m．一正点电荷从A点由静止开始运动经过P点进入区域I，并从区域Ⅱ、Ⅲ之间边界上的C点（图中未标出）进入区域Ⅲ．点电荷质量m=2×10^-9kg，电荷量q=4×10^-4C，不计重力．
（1）求点电荷经过P点时速度的大小v_P；
（2）求C点的纵坐标y_C；
（3）若要求点电荷不从区域Ⅲ的右边界离开，并回到y轴，求区域Ⅲ宽度L₃的最小值及正电荷从P点到第一次回到y轴经过的时间t．

Answer 1

分析 （1）由动能定理即可求得粒子在p点的速度．
（2）先画出粒子在三个区域磁场中做匀速圆周运动的轨迹，并计算半径，找到圆心，由几何关系就能求得C点的纵坐标．
（3）在区域Ⅲ磁场做匀速圆周运动时，当运动轨迹恰与右边界相切时，由几何关系求出最小宽度．在根据在每一个区域内偏转的角度求出第一次回到y轴的时间．

解答 解：（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，则
$qEd=\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$                               
代入数据解得：v_P=4×10²m/s                             
（2）电荷在x＞0的三个区域磁场中分别都做匀速圆周运动，其轨迹如图所示，圆心分别  是O₁、O₂、O₃，半径相同，设为r，设轨迹与区域I、II的边界交点D的连线与y轴正方向
  的夹角为θ，C点与点D纵坐标相等，则有：
  $r=\frac{m{v}_{p}}{qB}$   
  $sinθ=\frac{{L}_{1}}{r}$   
  y_c=y_p-（r-rcosθ）      
  解得  r=0.1m，θ=30°
  y_C=0.137m        
（3）设区域III宽度L₃的最小值为L_3m，则
  L_3m=r+rsinθ                                   
  代入得：L_3m=0.15m                                         
  电荷在三个区域磁场中做匀速圆周运动的周期相同，设为T，设从P到C运动过程
  中，在区域I中运动时间为t₁，在区域II中运动时间为t₂，在区域III中运动时间为t₃，则
    $T=\frac{2πm}{qB}$                                   
    ${t}_{1}=\frac{θ}{2π}T$                                    
    ${t}_{2}=\frac{2θ}{2π}T$                                     
    ${t}_{3}=\frac{π+2θ}{2π}T$                               
    t=2（t₁+t₂）+t₃                               
 解得  T=$\frac{π}{2}×1{0}^{-3}$s，${t}_{1}=\frac{π}{24}×1{0}^{-3}$s，${t}_{2}=\frac{π}{12}×1{0}^{-3}$s，${t}_{3}=\frac{π}{3}×1{0}^{-3}$s
   $t=\frac{7π}{12}×1{0}^{-3}$s       
答：（1）求点电荷经过P点时速度的大小为4×10²m/s．
（2）求C点的纵坐标y_C为0.137m．
（3）若要求点电荷不从区域Ⅲ的右边界离开，并回到y轴，求区域Ⅲ宽度L₃的最小值
  及正电荷从P点到第一次回到y轴经过的时间t为$\frac{7π}{12}×1{0}^{-3}$s．

点评 本题只能算一步往前走一步，进入磁场Ⅰ区域的速度是第一问要求的，也是求在后面三个磁场区域内做匀速圆周运动半径的条件，然后由速度方向画出粒子的运动轨迹，求出在每个区域内偏转角，最后求出第一次回到y轴的时间．要说明的是本题在解题过程中，直接应用了半径公式和周期公式，若要推导也只是多一步---洛仑兹力提供向心力．