Question

16．如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到最大值U_m之间的各种数值．静止的带电粒子电荷量为+q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值U_m时，粒子恰垂直打在CD板上．求：
（1）当M、N两板间电压取最大值U_m时，粒子射入磁场的速度v₁的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间t_m；
（4）CD板上可能被粒子打中区域的长度S．

Answer 1

分析 带电粒子在带等量异种电荷的电场在加速，离开电场进入匀强磁场做匀速圆周运动，由于进入磁场的速度不同，半径也不相等，本题涉及的几种特殊情况．
（1）由动能定理，电场力做的功就是粒子动能的增加量，从而求出速度的射入磁场的速度．
（2）由垂直打在板上知道速度方向，从而求出半径，由洛仑兹力提供向心力就可求出此种情况下磁感应强度的大小．
（3）显然在磁场中做完整的半周的时间就是最长时间．
（4）由分析知：最大速度的位置打在CD板上离C点最远，与CD相切的位置最近．两者之差就是打在CD板上的长度．

解答 解：（1）M、N两板间电压取最大值U_m时，粒子恰垂直打在CD板上，所以圆心在C点，如图所示，设此时粒子
   运动轨迹半径为r₁，CH=QC=L 
   即半径r₁=L         
  由qU_m=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$    ${v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{m}}{m}}$
（2）又因为qv₁B=m $\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
  得B=$\sqrt{\frac{2m{U}_{m}}{q{L}^{2}}}$      
（3）打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，
  由$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$而  ${t}_{m}=\frac{T}{2}$ 
  得t_m=$πL\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{m}}}$  
（4）设粒子在磁场中运动的轨迹与CD板相切于K点，此轨迹的半径为r₂，设圆心为A，在△AKC中：sin 45°=$\frac{{r}_{2}}{L-{r}_{2}}$       
  解得r₂=（$\sqrt{2}$-1）L，
  由几何关系：KC=r₂=（$\sqrt{2}$-1）L
  所以CD板上可能被粒子打中的区域的长度s=HK=HC-KC，
  即s=r₁-r₂=（2-$\sqrt{2}$）L      
答：（1）当M、N两板间电压取最大值U_m时，粒子射入磁场的速度v₁的大小$\sqrt{\frac{2q{U}_{m}}{m}}$．
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小$\sqrt{\frac{2m{U}_{m}}{q{L}^{2}}}$．
（3）粒子在磁场中运动的最长时间为$πL\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{m}}}$
（4）CD板上可能被粒子打中区域的长度S  为（2-$\sqrt{2}$）L．

点评 由洛仑兹力提供向心力可求得半径公式，从半径公式可以看出速度越大，半径越大，打的位置越上，由题意，找到几种特殊情况，从而能够求出速度、磁感应强度、最长时间等．