Question

7．如图所示，两根平行放置的金属导轨COD、C′O′D′，导轨OC，O′C′部分粗糙，处在同一水平面内，其空间气方向水平向左、磁感应强度B₁=$\frac{25}{8}$T的匀强磁场，导轨OD，O′D′部分光滑且足够长，与水平面成30°，其空间有方向垂直于导轨向上、磁感应强度B₂=1T的匀强磁场，OO′的连线垂直于OC、O′C′，金属杆M垂直导轨放置在OC段处，金属杆N垂直导轨放置在OD段上且距离O点足够远处，己知导轨间相距d=1m，金属杆与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.4，两杆质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω；
（1）若金属杆N由静止释放，求其沿导轨OD下滑的最大速度v_m：
（2）若使金属杆N在平行导轨的外力F的作用下，由静止开始沿导轨向下做加速度a=2m/s²的匀加速运动，求t=2s时的外力F；
（3）在第（2）问中，金属杆N运动的同时也给金属杆M向左的初速度v₁=4m/s，求当金属杆M停止速度时，金属杆N沿OD下滑的距离．

Answer 1

分析 （1）金属杆N由静止释放，先做变加速运动，最终做匀速运动，速度达到最大．根据平衡条件和安培力与速度的关系式，求解最大速度．
（2）根据运动学公式v=at、法拉第定律、欧姆定律求出t=2s时的感应电流，再牛顿第二定律和安培力公式求外力F．
（3）对金属杆M，根据牛顿第二定律列式，运用积分法求M运动的时间，从而求得金属杆N沿OD下滑的距离．

解答 解：（1）当金属杆N匀速运动时速度最大．则有
    mgsin30°=B₂Id
又 I=$\frac{E}{2R}$，E=B₂dv_m；
联立得 v_m=$\frac{mgR}{{B}_{2}^{2}{d}^{2}}$
代入数据解得 v_m=5m/s
（2）t=2s时，金属杆N的速度为 v=at=2×2=4m/s
产生的感应电动势为 E=B₂dv
感应电流为 I=$\frac{E}{2R}$
N所受的安培力 F_安=B₂dI
联立解得 F_安=4N
根据牛顿第二定律得 F+mgsin37°-μmgcos37°-F_安=ma
代入数据解得 F=3.2N
（3）金属杆N运动的同时也给金属杆M向左的初速度v₁=4m/s，对M杆有：
   μ（B₁Id+mg）=ma_M
又 I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{{B}_{2}dat}{2R}$
整理得  μ（$\frac{{B}_{1}{B}_{2}{d}^{2}at}{2R}$+mg）=ma_M
代入得：a_M=4+2.5t
M杆作加速度逐渐增大的减速运动，作出M杆加速度与时间的图象，如图，可知图中围成的面积是M杆速度的变化量，当M杆停止时，速度的改变量大小为 4m/s．
设M杆经过时间t恰好停止运动，则$\frac{1}{2}$（4+4+2.5t）×t=v₁=4
解得：t=0.8s
所以当金属杆M停止速度时，金属杆N沿OD下滑的距离为 x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×0．{8}^{2}$m=0.64m
答：
（1）沿导轨OD下滑的最大速度v_m是5m/s．
（2）t=2s时的外力F是3.2N．
（3）当金属杆M停止速度时，金属杆N沿OD下滑的距离为0.64m．

点评 本题是复杂的电磁感应问题，离不开力和运动关系的分析、功和能关系的分析．对M杆，要正确分析其加速度变化情况，通过作a-t图象求时间是解决本题的关键．