Question

13．一水平浅色足够长传送带，t=0时刻由静止开始以恒定的加速度a₀向右运动，当其速度达到V₀后，便以此速度做匀速运动，t=0时刻，一质量为m的煤块（可视为质点）在大小为V₀的初速度水平向左抛到传送带上中间某处，经过一段时间，煤块在传送带上留下一段黑色的痕迹后，煤块相对传送带不再滑动，已知煤块与传送带之间动摩擦因数为μ，求：
（1）取地面为参考系，煤块水平向左运动的最大位移；
（2）从煤块抛上传送带到煤块与传送带刚好相对静止的过程中，传送带对煤块做的功W；
（3）黑色痕迹的长度．

Answer 1

分析 （1）煤块在滑动摩擦力作用下向左做匀减速运动，速度为零时到达最左端，由动能定理求煤块水平向左运动的最大位移．
（2）煤块与传送带刚好相对静止时两者速度相同，由动能定理求传送带对煤块做的功W．
（3）由牛顿第二定律和运动学公式速度公式、位移公式结合求出煤块与传送带的相对位移，即为黑色痕迹的长度．

解答 解：（1）设煤块水平向左运动的最大位移为x．
根据动能定理得
-μmgx=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（2）、（3）在煤块向左运动的过程中：
煤块向左匀减速运动的加速度大小为 a=$\frac{μmg}{m}$=μ
向左运动的时间为 t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$
若a₀t₁≤v₀，则煤块与传送带间的相对位移大小为△x₁=x+$\frac{1}{2}{a}_{0}{t}_{1}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}（μg+{a}_{0}）}{2{μ}^{2}{g}^{2}}$
若a₀t₁＞v₀，煤块与传送带间的相对位移大小为△x₂=x+[$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$+v₀（t₁-$\frac{{v}_{0}}{{a}_{0}}$）]=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$；
在煤块向右运动的过程中：
设煤块向右加速经历时间t₂后速度与传送带相同．则有
  at₂=a₀（t₁+t₂）
可能有两种情况：
1、若a₀t₁＞v₀，煤块向右运动时传送带已经以速度v₀匀速运动，at₂=v₀，解得 t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{μg}$，
煤块与传送带间的相对位移大小为△x₃=v₀t₂-$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
故黑色痕迹的长度为△x_Ⅰ=△x₂+△x₃=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$；
传送带对煤块做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=0
2、若a₀t₁≤v₀，又有两种情况：
①煤块与传送带相对静止时，煤块的速度小于v₀，由 at₂=a₀（t₁+t₂）得：
   t₂=$\frac{{a}_{0}{v}_{0}}{μg（μg-{a}_{0}）}$
传送带与煤块共同速度 v=$\frac{{a}_{0}{v}_{0}}{μg-{a}_{0}}$
煤块与传送带间的相对位移大小为△x₅=v₀t₂-$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{a}_{0}{v}_{0}^{2}}{2（μg-{a}_{0}）}$
故黑色痕迹的长度为△x_Ⅱ=△x₁+△x₅=$\frac{{v}_{0}^{2}（μg+{a}_{0}）}{2{μ}^{2}{g}^{2}}$+（$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{a}_{0}{v}_{0}^{2}}{2（μg-{a}_{0}）}$）
传送带对煤块做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{m{v}_{0}^{2}（2μg{a}_{0}-{μ}^{2}{g}^{2}）}{2（μg-{a}_{0}）^{2}}$
②煤块与传送带相对静止时，煤块的速度等于v₀，则
煤块与传送带间的相对位移大小为△x₃=v₀t₂-$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
故黑色痕迹的长度为△x_Ⅲ=△x₁+△x₃=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$；
传送带对煤块做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=0
答：
（1）取地面为参考系，煤块水平向左运动的最大位移为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（2）从煤块抛上传送带到煤块与传送带刚好相对静止的过程中，传送带对煤块做的功W为0或$\frac{m{v}_{0}^{2}（2μg{a}_{0}-{μ}^{2}{g}^{2}）}{2（μg-{a}_{0}）^{2}}$；
（3）黑色痕迹的长度可能为$\frac{2{v}_{0}^{2}}{μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$或[$\frac{{v}_{0}^{2}（μg+{a}_{0}）}{2{μ}^{2}{g}^{2}}$+（$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{a}_{0}{v}_{0}^{2}}{2（μg-{a}_{0}）}$）]．

点评 本题的关键要煤块可能的运动情况，知道黑色痕迹的长度等于煤块与传送带间的相对位移的大小，由动能定理和牛顿运动定律、运动学公式结合研究．