Question

3．如图所示，一个质量为M长为L的圆管竖直放置，顶端塞有一个质量为m的弹性小球，M=5m，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为5mg．管从下端离地面距离为H处自由落下，运动过程中，管始终保持竖直，每次落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等，不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）管第一次落地弹起时管和球的加速度；
（2）管第一次落地弹起后，若球没有从管中滑出，则球与管达到相同速度时，管的下端距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度．
（2）管自由下落，根据v₀²=2gH求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据管上升的加速度，以及相对加速度分别求出管从碰地到它弹到最高点所需时间和管从碰地到与球相对静止所需的时间，比较两个时间知道球与管的运动情况，再根据运动学公式求出管上升的最大高度．

解答 解：（1）管第一次落地弹起时，管的加速度为：a₁=$\frac{5mg+f}{M}$=$\frac{5mg+5mg}{5m}$=2g，方向向下
球的加速度为：a₂=$\frac{f-mg}{m}$=$\frac{5mg-mg}{m}$=4g，方向向上．
（2）取竖直向下为正方向．球与管第一次碰地时速度 v₀=$\sqrt{2gH}$，方向向下．
碰地后管的速度大小 v₁=$\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度v₂=$\sqrt{2gH}$，方向向下
若球刚好没有从管中滑出，设经过时间t₁，球管速度v相同，
则有-v₁+a₁t₁=v₂-a₂t₁
解得 t₁=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2gH}}{4g+2g}$=$\frac{\sqrt{2gH}}{3g}$
又管从碰地到它弹到最高点所需时间t₂，则：t₂=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2gH}}{2g}$
因为t₁＜t₂，说明管在达到最高点前，球与管相对静止，故管从弹起经t₁这段时间上升的高度为所求．得：
h₁=v₁t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\sqrt{2gH}$•$\frac{\sqrt{2gH}}{3g}$-$\frac{1}{2}•2g•（\frac{\sqrt{2gH}}{3g}）^{2}$=$\frac{4}{9}$H
答：（1）管第一次落地弹起时管和球的加速度分别为2g方向竖直向下和4g方向竖直向上；
（2）管第一次落地弹起后，若球没有从管中滑出，则球与管达到相同速度时，管的下端距地面的高度为$\frac{4}{9}$H．

点评 本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，分析管和球之间的关系，如位移关系、速度关系，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．