Question

20．如图所示，一个半径R=1.0m的圆弧形光滑轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与竖直方向夹角θ=60°，C为轨道最低点，D为轨道最高点．一个质量m=0.50kg的小球（视为质点）从空中A点以v₀=4.0m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．重力加速度g取10m/s²．试求：
（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度h．
（2）小球经过轨道最低点C时对轨道的压力F_C．
（3）若将该轨道换为光滑的圆管轨道，经过轨道最高点D时对轨道的压力F_D．

Answer 1

分析 （1）小球从A运动到B做平抛运动，据小球恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，说明小球的末速度应该沿着B点的切线方向，由圆的半径和角度的关系，可以求出B点切线的方向，即平抛末速度的方向，从而可以求得竖直方向分速度，对竖直方向，运用运动学公式求h．
（2）根据机械能守恒定律求得小球通过C点的速度．在C点，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律求得轨道对小球的支持力，从而得到小球对轨道的压力．
（3）从C到D，根据机械能守恒定律求得小球通过D点的速度．在D点，由合力提供向心力，根据牛顿定律求解即可．

解答 解：（1）小球恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，说明小球的末速度应该沿着B点切线方向，将平抛末速度进行分解，根据几何关系，B点速度在竖直方向的分量为：
v_y=v₀tan60°=4$\sqrt{3}$m/s     
竖直方向的分运动为自由落体运动，则有：
h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{（4\sqrt{3}）^{2}}{20}$=2.4m                    
（2）从A到C的过程，根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mg（h+R-Rcosθ）
代入数据得：v_C²=74m²/s²     
在C点，根据牛顿第二定律，有：
F′_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：F'_C=42N
根据牛顿第三定律得，小球经过轨道最低点C时对轨道的压力为 F_C=F'_C=42N，方向竖直向下．
（3）从C到D的过程，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D点，设轨道对小球的作用力方向竖直向下，大小为F．由牛顿第二定律得：
mg+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立并代入数据解得：F=12N＞0
说明在D点，轨道对小球的作用力方向竖直向下，由牛顿第三定律知，经过轨道最高点D时对轨道的压力F_D大小为12N，方向竖直向上．
答：（1）小球抛出点A距圆弧轨道B端的高度是2.4m．
（2）小球经过轨道最低点C时对轨道的压力是42N，方向竖直向下．
（3）经过轨道最高点D时对轨道的压力F_D大小为12N，方向竖直向上．

点评 恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的突然口，理解了这句话就可以求得小球的末速度，运用平抛运动的规律、圆周运动的知识和机械能守恒解决．要知道圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力．