Question

12．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R．
（1）求月球表面的自由落体加速度大小g_月；
（2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M和月球的“第一宇宙速度”大小．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；　
（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M；　
飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小．

解答 解：（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 $h=\frac{1}{2}{g_月}{t^2}$
月球表面的自由落体加速度大小 ${g_月}=\frac{2h}{t^2}$
（2）a．若不考虑月球自转的影响 $G\frac{Mm}{R^2}=m{g_月}$
月球的质量 $M=\frac{{2h{R^2}}}{{G{t^2}}}$
b．质量为m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动$m'{g_月}=m'\frac{v^2}{R}$
月球的“第一宇宙速度”大小 $v=\sqrt{{g_月}R}=\frac{{\sqrt{2hR}}}{t}$
答：（1）求月球表面的自由落体加速度大小为$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的质量为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；月球的“第一宇宙速度”大小为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$．

点评 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v．