Question

5．某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，它由细圆管弯成，固定在竖直平面内．左右两侧的斜直管道PA与PB的倾角、高度、粗糙程度完全相同，管口A、B两处均用很小的光滑小圆弧管连接（管口处切线竖直），管口到底端的高度H₁=0.4m．中间“8”字型光滑细管道的圆半径R=10cm（圆半径比细管的内径大得多），并与两斜直管道的底端平滑连接．一质量m=0.5kg的小滑块从管口 A的正上方H₂处自由下落，第一次到达最低点P的速度大小为10m/s．此后小滑块经“8”字型和PB管道运动到B处竖直向上飞出，然后又再次落回，如此反复．小滑块视为质点，忽略小滑块进入管口时因碰撞造成的能量损失，不计空气阻力，且取g=10m/s2．求：
（1）滑块第一次由A滑到P的过程中，克服摩擦力做功；
（2）滑块第一次到达“8”字型管道顶端时对管道的作用力；
（3）滑块第一次离开管口B后上升的高度；
（4）滑块能冲出槽口的次数．

Answer 1

分析 （1）对开始下落到运动到P点的过程中，运用动能定理，求出克服摩擦力做功的大小；
（2）对P到最高点的过程，运用动能定理，求出最高点的速度，结合牛顿第二定律求出滑块对管道的作用力；
（3）对开始释放到第一次离开管口上升到最大高度过程，运用动能定理，求出滑块第一次离开管口B后上升的高度；
（4）根据能量守恒求出滑块能冲出槽口的次数

解答 解：（1）滑块第一次由A滑到P的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=mg（{H}_{1}+{H}_{2}）-{W}_{1}$
代入数据解得：W₁=2J．
（2）根据动能定理得：$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=-4mgR$
在“8”字型管道的最高点有：$mg+{F}_{N}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
管道对滑块的弹力大小F_N=455N，方向向下，
滑块对管道的弹力大小F_N′=455N，方向向上．
（3）滑块第一次由A到B克服摩擦力做功为：W₂=2W₁=4J，
根据mg（H₂-h）=W₂得上升的高度为：h=4.2m．
（4）滑块能冲出槽口的次数为$n=\frac{mg{H}_{2}}{{W}_{2}}=6.25$次，
所以滑块能离开槽口的次数为6次．
答：（1）滑块第一次由A滑到P的过程中，克服摩擦力做功为2J；
（2）滑块第一次到达“8”字型管道顶端时对管道的作用力为455N，方向向上；
（3）滑块第一次离开管口B后上升的高度为4.2m；
（4）滑块能冲出槽口的次数为6次．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，运用动能定理解题，关键确定好研究的过程，分析过程中有哪些力做功，然后根据动能定理列式求解