Question

15．有一只蚂蚁不慎跌入一个碗中，如图所示，碗内壁为一半径为R的球壳的一部分，且其深度为D，碗与蚂蚁脚间的动摩擦因数为μ，若蚂蚁无法顺利爬出碗口，求：D应满足什么条件．

Answer 1

分析 当蚂蚁在容器面上受到的摩擦力最大时恰好等于重力在该点切线方向的分力，应用平衡条件结合平面几何知识便可求解D的最小值．

解答 解：对蚂蚁受力分析，受到重力、支持力和静摩擦力，到碗口时，最容易滑下，此时静摩擦力最大，等于滑动摩擦力，如图

根据平衡条件，有：
f=mgsinθ    ①
N=mgcosθ       ②
其中f=μN      ③
cosθ=$\frac{R-D}{R}$   ④
由①②③④解得：D=R（1-$\sqrt{\frac{1}{{μ}^{2}+1}}$）．
所以蚂蚁无法顺利爬出碗口，则D＞R（1-$\sqrt{\frac{1}{{μ}^{2}+1}}$）．
答：若蚂蚁无法顺利爬出碗口，则D＞R（1-$\sqrt{\frac{1}{{μ}^{2}+1}}$）．

点评 本题的关键是找出蚂蚁刚要下滑的临界条件，然后受力分析运用力的合成或分解结合共点力平衡条件便可解决，最后还得找D和R的关系．