Question

3．如图，一正方形薄板ABCD的边长为R，薄板上固定一个以正方形的边长为半径的四分之一光滑圆环，薄板靠在与水平地面夹角为θ的墙壁上，建立三维直角坐标系，oz为竖直轴，xOy为水平地面．置于地面上的弹簧枪枪口与AB边的距离为d，弹簧枪发射处的小球沿水平地面上运动一段距离d后，从A处开始沿着圆环内侧冲上薄板，最后从圆环的最高点C水平飞出后落在放置于y轴某处的小桶Q内．已知小球与地面和薄板间的动摩擦因数均为μ，不计小球在拐角A处的机械能损失．求：
（1）小球能冲上斜面时，其最小发射速度v₀
（2）小球能掉入小桶内，小桶Q的坐标值y_Q
（3）小球能掉入小桶内，弹簧枪必须具备的最小弹性势能E_P．

Answer 1

分析 （1）从小球被从枪口射出到进入斜面，由动能定理可得最小发射速度v₀．
（2）小球在轨道上运动的时候，相当于绳模型，由此可得最高点C的最小速度，在C点小球做平抛，结合平抛规律，可以解得小球平抛水平位移，此位移为小桶坐标的最小值．
（3）由小球在C点的最小速度，结合全过程的动能定律和功能关系可得弹簧枪必须具备的最小弹性势能E_P．

解答 解：（1）小球刚到斜面速度为零，此时发射速度最小，此过程摩擦力做功，由动能定理可得：
$-μmgd=-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{2μgd}$．
（2）小球在斜面轨道上运动时，在C点受力如图：

重力的分力提供向心力的时候，小球向心力为最小值，由此可得：
$mgsinθ=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：
${v}_{C}=\sqrt{gRsinθ}$，
C点之后小球做平抛运动，设桶到C的水平距离为X，由平抛规律可得：
$Rsinθ=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
X=v_Ct，
解得：
$X=\sqrt{2}Rsinθ$，
故可知小球能掉入小桶内，小桶Q的坐标值最小为：
${y}_{Q}=R+X=R+\sqrt{2}Rsinθ$，
故可知小球能掉入小桶内，小桶Q的坐标值为：
${y}_{Q}≥R+\sqrt{2}Rsinθ$．
（3）小球在C点速度最小时，发射时弹簧枪的弹性势能最小，对发射到C整个过程：
${W}_{弹}-mgRsinθ-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
弹力做的功等于弹性势能的多少：
W_弹=E_P，
水平面和斜面摩擦力做功为：
${W}_{f}={f}_{1}{s}_{1}+{f}_{2}{s}_{2}=μmgd+μmgcosθ•\frac{πR}{2}$，
解得：
${E}_{P}=（\frac{3}{2}sinθ+\frac{μπ}{2}cosθ）mgR+μmgd$．
答：（1）小球能冲上斜面时，其最小发射速度$\sqrt{2μgd}$．
（2）小球能掉入小桶内，小桶Q的坐标值${y}_{Q}≥R+\sqrt{2}Rsinθ$．
（3）小球能掉入小桶内，弹簧枪必须具备的最小弹性势能$（\frac{3}{2}sinθ+\frac{μπ}{2}cosθ）mgR+μmgd$．

点评 该题关键是要建立好物理模型，此题突破口在对斜面轨道的处理上，首先要能分析这是个绳模型，会求绳模型最高点的最小速度；其次要有全局观念，弹簧枪必须具备的最小弹性势能，对应C点最小速度．