Question

如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的

1

4

圆周轨道，半径OA处于水平位置，CDO是直径为15m的半圆轨道，两个轨道如图连接固定．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道运动．通过CDO轨道的最低点C时对轨道的压力力等于其重力的

23

3

倍．取g为10m/s²．
（1）H的大小；
（2）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少．

Answer 1

分析：（1）小球经过C点时，通过竖直方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球在C点时的速度，根据机械能守恒定律求出高度H的大小．
（2）根据机械能守恒定律求出小球通过O点的速度，与O点的临界速度进行比较，判断能否越过O点，若能越过O点，将做平抛运动，根据平抛运动水平位移和竖直位移的关系求出平抛运动的时间，从而求出竖直方向上的分速度，根据平行四边形定则求出落回轨道上时的速度大小．

解答：解：（1）由题意，小球经过C点时，轨道对小球的支持力为：Nc=

23

3

mg
C：由竖直方向上的合力提供向心力为：N_C-mg=m

v 2 C

R 2

所以有：v

2 C

=

( 23 3 mg-mg)× R 2

m

=

20 3 ×m×10× 15 2

m

m²/s²=500m²/s²
P→C：由机械能守恒定律得：mg（H+R）=

1

2

m

v

2 C

所以得：H=

v 2 C

2g

-R=（

500

2×10

-15）m=10m
（2）设小球能到达O点．由P到O过程中，机械能守恒，设到O点的速度为v_O，则有：
mgH=

1

2

m

v

2 O

解得：v_O=

2gH

=

20×10

m/s=10

2

m/s．
设物体恰好到达轨道O点的速度大小为v₀，
根据牛顿运动定律，有：mg=m

v 2 0

1 2 R

解得：v₀=

1 2 gR

=

5×15

m/s=5

3

m/s
因为 v_O＞v₀，所以小球能够到达O点．
小球离开O点后做平抛运动，根据平抛运动规律有：
水平方向：x=v_Ot
竖直方向：y=

1

2

gt2
且有：x²+y²=R²
解得：t=1s
所以小球再次落到轨道上的速度 v=

v 2 O +(gt)2

=

200+(10×1)2

m/s=10

3

m/s
答：（1）高度H的大小为10m．
（2）小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小10

3

m/s．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，考查了圆周运动和平抛运动，综合性较强，关键要运用几何关系得到平抛运动x、y的关系式，需加强这类题型的训练．