Question

2．火星的半径约为地球半径的一半，火星的质量约为地球质量的$\frac{1}{6}$，在地球上周期都为T₀的单摆和弹簧振子，如果放到火星上去，则单摆的周期为多大？弹簧振子的周期又为多大？

Answer 1

分析 根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，根据火星球半径是地球半径的一半，质量是地球质量的$\frac{1}{6}$，可计算出火星和地球的表面重力加速度之比，又根据单摆周期公式$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$，可计算该单摆在火星和地球上的周期之比．

解答 解：根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力有：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
得：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}=\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}×{（\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}）}^{2}=\frac{1}{6}×{2}^{2}=\frac{2}{3}$
根据单摆周期公式有：$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$，
得：$\frac{{T}_{火}}{{T}_{地}}=\sqrt{\frac{{g}_{地}}{{g}_{火}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
所以有：${T}_{火}=\frac{\sqrt{6}}{2}{T}_{0}$
弹簧振子的周期：T=$2π\sqrt{\frac{m}{k}}$与弹簧的劲度系数以及弹簧振子的质量有关，与重力加速度无关，所以如果放到火星上去弹簧振子的周期不变，仍然是T₀．
答：如果放到火星上去，则单摆的周期为$\frac{\sqrt{6}}{2}{T}_{0}$．弹簧振子的周期不变，仍然是T₀．

点评 本题考查单摆周期公式，由周期公式确定g与周期的关系，会由重力等于万有引力列式得g与质量，半径之间的数量关系．