Question

如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，求：

(1)推力对小球所做的功.

(2)x取何值时，完成上述运动所做的功最少?最小功为多少？

(3)x取何值时，完成上述运动用力最小?最小力为多少？

Answer 1

【知识点】动能定理的应用；牛顿第二定律；向心力．C2 D4 E2

【答案解析】(1) mg(16R²+x²) /8R(2)2R(3)mg  解析： （1）从A到C的过程中由动能定理有：

从C点又正好落回到A点过程中：在C点水平抛出的速度为：

解得：W_F=mg(16R²+x²) /8R

（2）若功最小，则在C点动能也最小，在C点需满足：

从A到C的过程中由动能定理有：

W_F=mgR

=2R

     （3）若力最小，从A到C的过程中由动能定理有：

由二次方程求极值得：

x=4R最小的力F=mg

【思路点拨】（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．（2）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，根据（1）问的结果求出x，即可得到最小功；（3）根据功与x的关系式，运用数学知识求解力最小时x的值及最小的力．本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为 ，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值．