Question

如图，质量为M=1kg，绝缘凹槽B静止放置在光滑水平面上，凹槽内长d=1m，槽内左端静止放置一质量m=1kg，大小可忽略的带正电小物体A，电量为q=1×10^-4C，物体与凹槽滑动摩擦系数为0.2，t=0时刻起，在空间加上E=6×10⁴N/C的水平向右的匀强磁场，设物体与凹槽相碰瞬间前后二者速度交换，求：
（1）物块与凹槽壁第一次相碰瞬间速度各为多少？
（2）物块在凹槽内滑行过程中二者速度第一次相等的时刻；物块与凹槽第二次相碰后瞬间撤去电场，求物块和凹槽的最终速度．

Answer 1

（1）A与B相撞之前对A进行受力分析得：qE-μmg=ma₁．
得：a1=

qE-μmg

m

=

1×10-4×6×104-0.2×1×10

1

m/s2=4m/s2
设A的位移为s，则：s=

1

2

a1

t

21

①
对B：μmg=Ma₂
得：a2=

μmg

M

=

0.2×1×10

1

m/s2=2m/s2
又：s-d=

1

2

a2

t

21

②
代入数据得：t₁=1s；s=

1

2

×4×12=2m．
A的速度：v_A1=a₁t₁=4×1m/s=4m/s
B的速度：v_B1=a₂t₁=2×1m/s=2m/s；
（2）由题意物体与凹槽相碰瞬间前后二者速度交换，则：v_A2=v_B1=2m/s；v_B2=v_A1=4m/s．
由于B的速度等于A的速度，所以A加速，B减速，设经过时间t₂二者的速度相等，则：
v_A2+a₁t₂=v_B2-a₂t₂
代入数据解得：t2=

1

3

s
物块在凹槽内滑行过程中二者速度第一次相等的时刻：t=t1+t2=1s+

1

3

s≈1.33s
从第一次碰撞到速度相同的过程中，A的位移：x1=vA2t2+

1

2

a2

t

22

=2×

1

3

+

1

2

×4×(

1

3

)2=

8

9

m
B的位移：x2=vB2t2-

1

2

a2

t

22

=4×

1

3

-

1

2

×2×(

1

3

)2=

11

9

m
它们 位移差：△x=x2-x1=

11

9

-

8

9

=

2

9

m
此时：vA3=vA2+a1t2=2+4×

1

3

=

10

3

m/s=vB3 ③
此后物体A与B都做匀加速直线运动，当A的位移比B的位移大△x时，A与B再次碰撞，该过程的时间：t₃
则：x3=vA3t3+

1

2

a1

t

23

④
x4=vB3+

1

2

a2

t

23

⑤
又：x3-x4=△x=

2

9

m ⑥
联立③④⑤⑥得：t3=

2

3

s
此时A的速度：vA4=vA3+a1t3=

10

3

+

4 2

3

m/s
B的速度：vB4=vB3+a2t3=

10

3

+

2 2

3

m/s
撤去电场后，相同在水平方向不受外力的作用系统的动量守恒．
由动量守恒定律得：mv_A4+Mv_B4=（M+m）v_共
代入数据得：v共=(

10

3

+

2

)m/s
答：（1）物块与凹槽壁第一次相碰瞬间速度各为4m/s和2m/s；
（2）物块在凹槽内滑行过程中二者速度第一次相等的时刻是1.33s；物块与凹槽第二次相碰后瞬间撤去电场，物块和凹槽的最终速度是v共=(

10

3

+

2

)m/s．