Question

如图所示，一质量M=1.0kg的砂摆，用轻绳悬于天花板上O点．另有一玩具枪能连续发射质量m=0.01kg，速度v=4.0m/s的小钢珠．现将砂摆拉离平衡位置，由高h=0.20m处无初速度释放，恰在砂摆向右摆到最低点时，玩具枪发射的第一颗小钢珠水平向左射入砂摆，二者在极短时间内达到共同速度．不计空气阻力，取g=10m/s²．
（1）求第一颗小钢珠射入砂摆前的瞬间，砂摆的速度大小v₀；
（2）求第一颗小钢珠射入砂摆后的瞬间，砂摆的速度大小v₁；
（3）第一颗小钢珠射入后，每当砂摆向左运动到最低点时，都有一颗同样的小钢珠水平向左射入砂摆，并留在砂摆中．当第n颗小钢珠射入后，砂摆能达到初始释放的高度h，求n．

Answer 1

（1）砂摆从释放到最低点，由动能定理：
Mgh=

1

2

Mv₀^2-0，解得：v₀=

2gh

=2m/s；
（2）小钢球打入砂摆过程系统动量守恒，选向右为正方向，
由动量守恒定律得：Mv₀-mv=（M+m）v₁，
解得：v₁=

Mv0-mv

M+m

≈1.94m/s；
（3）第2颗小钢球打入过程，选向左为正方向，
由动量守恒定律得：（M+m）v₁+mv=（M+2m）v₂，
第3颗小钢球打入过程，同理可得：
（M+2m）v₂+mv═（M+3m）v₃，
…
第n颗小钢球打入过程，同理可得：
[M+（n-1）m]v_n-1+mv=（M+nm）v_n，
联立各式得：（M+m）v₁+（n-1）mv=（M+nm）v_n，
解得：v_n=

(M+m)v1+(n-1)mv

M+nm

，
当第n颗小钢球射入后，砂摆要能达到初始释放的位置，
砂摆速度满足：v_n≥v₀，
解得：n≥

(M+m)v1-mv-Mv0

m(v0-v)

=4，
所以，当第4颗小钢球射入砂摆后，砂摆能达到初始释放的高度．
答：（1）第一颗小钢珠射入砂摆前的瞬间，砂摆的速度为2m/s．
（2）第一颗小钢珠射入砂摆后的瞬间，砂摆的速度大小为1.94m/s．
（3）当第4颗小钢球射入砂摆后，砂摆能达到初始释放的高度．