Question

7．小球a、b用一处于原长的微型轻质弹簧连接，静止在高度H=1m的平台上A处，a和b的质量分别为0.09kg  和0.1kg．一颗质量为m₀=0.01kg的子弹c以v=400m/s的初速度水平射入a并留在其中，当弹簧压缩到最短时使弹簧处于锁定状态，之后它们共同沿粗糙曲面AB滑下，经过B点后，进入竖直平面的圆形光滑轨道，并能通过圆轨道的最高点C已知圆轨道半径R=0.4m，当ab到达C位置时弹簧在极短时间内解除锁定并迅速与a、b分离，分离后a的速度恰好为零而b继续沿圆周运动．将a、b以及弹簧组成的系统看成质点，不计弹簧压缩和弹开的时间，设a球落下后不会与b球相椪，求（取g=10m/s²）：
（1）弹簧处于锁定状态时具有的弹性热能Ep；
（2）子弹c和a、b在AB段克服阻力所做的功W
（3）小球b第二次到达B处时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）子弹c射入a的过程，系统的动量守恒，由动量守恒定律求出ac的共同速度．之后ac压缩弹簧，当ac与b的速度相同时，弹簧压缩到最短，由系统的动量守恒和机械能守恒求弹簧处于锁定状态时具有的弹性热能E_p；
（2）在C点，弹簧在极短时间内解除锁定a、b分离，由动量守恒定律和机械能守恒定律结合求出整体到达C点的速度和a、b分离瞬间a的速度．从B到C，由机械能守恒定律求出整体在B点的速度．从A到B的过程，由动能定理求克服阻力所做的功W．
（3）小球b由C到B过程，由机械能守恒定律求出b球第二次到达B点的速度．在B点，由合力提供向心力，由牛顿定律求小球b对轨道的压力．

解答 解：（1）子弹c射入a，对ac系统，取向右为正方向，由动量守恒定律得
           m_cv=（m_c+m_a）v₁
解得，子弹射入a后ac的共同速度 v₁=40m/s
弹簧压缩到最短时，a、b、c三者的速度相同，对abc系统，由动量守恒定律得
      m_cv=（m_c+m_b+m_a） v₂
解得，v₂=20m/s
弹簧处于锁定状态时具有的弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}$（m_c+m_a）v₁²-$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₂²=40J
（2）A到B过程，由动能定理得
   （m_c+m_b+m_a）gH-W_f=$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₃²-$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₂²
B到C过程，abc整体的机械能守恒，则有：
  $\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₃²=$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₄²+（m_c+m_b+m_a）g•2R
弹簧在极短时间内解除锁定a、b分离，取向左为正方向，由动量守恒定律得
     （m_c+m_b+m_a） v₄=m_bv₅
由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₄²+E_p=$\frac{1}{2}$m_b v₅²
解得 v₄=20m/s   v₅=40m/s   v₃=40m/s
子弹和a、b在AB段克服阻力所做的功  W_f=0.4J  
（3）小球b由C到B过程，由机械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$m_bv₆²=$\frac{1}{2}$m_b v₅²+m_bg•2R
小球b第二次到达B处时   F₁-m_bg=m_b$\frac{{v}_{6}^{2}}{R}$
解得  F₁=321N    
由牛顿第三定律有对轨道的压力  F₂=F₁=405N 
答：
（1）弹簧处于锁定状态时具有的弹性热能E_p是40J．
（2）子弹c和a、b在AB段克服阻力所做的功W是0.4J．
（3）小球b第二次到达B处时对轨道的压力是405J．

点评 本题是多对象、多过程的问题，关键要抓住每个过程和状态的物理规律，知道子弹射入a时，a、c系统的动量守恒，但b未参与．弹簧释放的过程，系统遵守两大守恒：动量守恒定律和能量守恒定律．