Question

12．两根长为L的绝缘轻杆组成直角支架，电量分别为+q、-q的两个带电小球A、B固定在支架上，整个装置处在水平向左的匀强电场中，电场强度为E．在电场力之外的力作用下，整体在光滑水平面内绕竖直轴O以角速度ω顺时针匀速转动，下图为其俯视图．不计两球之间因相互吸引而具有的电势能．试求：
（1）在支架转动一周的过程中，外力矩大小的变化范围．
（2）若从A球位于C点时开始计时，一段时间内（小于一个周期），电场力之外的力做功W等于B球电势能改变量，求W的最大值．
（3）在转动过程中什么位置两球的总电势能变化最快？并求出此变化率．

Answer 1

分析 （1）设OA与电场线夹角θ，根据装置匀速转动时，电场力矩与外力矩平衡，求出电场力矩与θ的关系式，即得到外力矩与θ的关系式，从而确定其范围．
（2）支架匀速转动，动能的变化量为零，由动能定理列式，求电场力做功，得到W的最大值．
（3）电场力做功等于电势能改变量，则电势能变化最快的位置应是电场力功率最大的位置，列出电场力功率表达式，再求解．

解答 解：（1）设OA与电场线夹角θ．
支架匀速转动时，电场力矩与外力矩平衡，则得
外力矩 M=qELsinθ-qE（Lsinθ+Lcosθ）=-qELcosθ
所以外力矩大小的变化范围为 0～qEL．
（2）支架匀速转动，由动能定理可得  W+W_电场力=0
根据题意  W=△E_pB
得W_电场力=-△E_pB
电场力做功仅改变了B球电势能，所以A球电势能变化为零，则A球在这段时间初末应在同一个等势面上，根据B球前后位置关系，得W=-2qEL
（3）因为电场力做功等于电势能改变量，所以电势能变化最快的位置应是电场力功率最大的位置．
设OA与电场线夹角θ，由公式P=Fv有
电场力功率 P=qEωLcos（$\frac{π}{2}$+θ）-qEω•$\sqrt{2}$L（$\frac{π}{4}$-θ）=qEωLcosθ
显然在一周内θ=0或π时有最值，即OA杆与电场线平行时，电势能变化最快．
变化率为qEωL
另一种解法：
以OA与电场线平行，A在右端位置为t=0
以任意位置为零电势，均能得到整体电势能Ep=qELsin（ωt）
求导得电势能变化率=qEωLcos（ωt）
显然一周内ωt=0或π时有最值，即OA杆与电场线平行时，电势能变化最快．变化率qEωL．
答：（1）在支架转动一周的过程中，外力矩大小的变化范围是0～qEL．
（2）W的最大值是-2qEL．
（3）OA杆与电场线平行时，电势能变化最快．变化率为qEωL．

点评 本题分析时要知道支架匀速转动时力矩平衡，合力做功为零，分析出物理过程蕴含的物理规律是解题的关键．