Question

1．我国航天人为实现中华民族多年的奔月梦想，正在向着“绕、落、回”的第三步进军，未来将有中国的航天员登上月球．假如航天员在月球上测得摆长为l的单摆做n次小振幅全振动的时间为t．已知月球可视为半径为r的质量分布均匀的球体，引力常量为G，在月球表面h高处（h的大小与月球半径r相比可以忽略不计）以水平初速度v₀抛出一小球，不考虑月球自转的影响．
（1）求小球落到月球表面时的速度大小；
（2）若恰好能使小球不再落回月球表面
①v₀的大小应满足什么条件；
②小球绕月球运动一周的最短时间．

Answer 1

分析 （1）由单摆周期公式求出重力加速度，根据平抛运动的规律求出小球落到月球表面的速度；
（2）①小球的最小发射速度即第一宇宙速度，根据重力提供向心力即可求解；
②根据公式$T=\frac{2πR}{{v}_{1}^{\;}}$求解最小周期；

解答 解：（1）单摆周期公式为：$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
$\frac{t}{n}=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
重力加速度为：$g=\frac{{4{π^2}{n^2}l}}{t^2}$
$v_y^2=2gh$
竖直分速度为：$v_y^{\;}=\sqrt{2gh}=\frac{2πn}{t}\sqrt{2lh}$；
水平分速度为：$v_x^{\;}=v_0^{\;}$
所以小球落地速度大小为：$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+\frac{{8{π^2}{n^2}}}{t^2}lh}$
（2）①根据重力提供向心力，有：$mg=\frac{mv_1^2}{R}$
得：${v_1}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}$
要使小球不再落回表面：${v_0}≥\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}$
②小球绕月球运动一周的最短时间：$t=\frac{2πR}{v_1}=\frac{2πR}{{\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}}}=\frac{2πR}{{\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}}}=\frac{t}{n}\sqrt{\frac{R}{l}}$．
答：（1）求小球落到月球表面时的速度大小$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}lh}$；
（2）若恰好能使小球不再落回月球表面
①v₀的大小应满足条件${v}_{0}^{\;}≥\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}lR}{{t}_{\;}^{2}}}$；
②小球绕月球运动一周的最短时间$\frac{t}{n}\sqrt{\frac{R}{l}}$

点评 本题考查万有引力定律解决实际问题的能力，关键是建立模型，理清思路．