Question

如图所示，在光滑水平地面上，有一质量m₁=4.0kg的平板小车，小车的右端有一固定的竖直挡板，挡板上固定一轻质细弹簧．位于小车上A点处质量m₂=1.0kg的木块（可视为质点）与弹簧的左端相接触但不连接，此时弹簧与木块间无相互作用力．木块与A点左侧的车面之间的动摩擦因数μ=0.40，木块与A点右侧的车面之间的摩擦可忽略不计．现小车与木块一起以v₀=2.0m/s的初速度向右运动，小车将与其右侧的竖直墙壁发生碰撞，已知碰撞时间极短，碰撞后小车以v₁=1.0m/s的速度反向弹回，已知重力加速度g取10m/s²，弹簧始终处于弹性限度内．求：
（1）小车撞墙后弹簧的最大弹性势能；
（2）要使木块最终不从小车上滑落，则车面A点左侧粗糙部分的长度应满足什么条件？

Answer 1

（1）小车与墙壁碰撞后向左运动，木块与小车间发生相对运动将弹簧压缩至最短时，二者速度相等，此时弹簧的弹性势能最大，此过程中，二者组成的系统动量守恒，设弹簧压缩至最短时，小车和木块的速度大小为v，根据动量守恒定律有：
m₁v₁-m₂v₀=（m₁+m₂）v…①
解得v=0.40m/s…②
设最大的弹性势能为E_P，根据机械能守恒定律可得
E_P=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₀²-

1

2

（m₁+m₂）v²…③
由②③得E_P=3.6J…④
（2）根据题意，木块被弹簧弹出后滑到A点左侧某处与小车具有相同的速度v’时，木块将不会从小车上滑落，此过程中，二者组成的系统动量守恒，
故有v’=v═0.40m/s…⑤
木块在A点右侧运动过程中，系统的机械能守恒，而在A点左侧相对滑动过程中将克
服摩擦阻力做功，设此过程中滑行的最大相对位移为L，根据功能关系有
μm₂gL=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₀²-

1

2

（m₁+m₂）v’²…⑥
解得L=0.90m…⑦
即车面A点左侧粗糙部分的长度应大于0.90m
答：（1）小车撞墙后弹簧的最大弹性势能3.6J．
（2）要使木块最终不从小车上滑落，则车面A点左侧粗糙部分的长度应大于0.90m．