Question

16．如图所示，传送带Ⅰ与水平面夹角30°，传送带Ⅱ与水平面夹角37°，两传送带与一小段光滑的水平面BC平滑连接．两传送带均顺顺时针匀速率运行．现将装有货物的箱子轻放至传送带Ⅰ的A点，运送到水平面上后，工作人员将箱子内的物体取下，箱子速度不变继续运动到传送带Ⅱ上，传送带Ⅱ的D点与高处平台相切．已知箱子的质量M=1kg，物体的质量m=3kg，传送带Ⅰ的速度v₁=8m/s，AB长L₁=15m，与箱子间的动摩擦因数为μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．传送带Ⅱ速度v₂=4m/s，CD长L₂=8m，由于水平面BC上不小心撒上水，致使箱子与传送带Ⅱ间的动摩擦因数变为μ₂=0.5，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）装着物体的箱子在传送带Ⅰ上运动的时间；
（2）计算说明，箱子能否运送到高处平台上？并求在传送带Ⅱ上箱子向上运动的过程中产生的内能（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）．

Answer 1

分析 （1）装着物体的箱子在传送带Ⅰ上先做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式位移公式结合求得匀加速至速度与传送带共速通过的位移，再分析知道共速后箱子随传送带匀速运动，分段求出时间，从而得到总时间．
（2）由牛顿第二定律和运动学公式求出箱子在传送带Ⅱ上匀加速的位移，根据共速时最大静摩擦力与重力沿斜面向下的分力大小关系，判断之后箱子的运动情况．根据相对位移求热量．

解答 解：（1）在传送带Ⅰ上，根据牛顿第二定律：f-mgsin30°=ma
垂直传送带方向，合力为零，故：N-mgcos30°=0
滑动摩擦力为：f=μ₁N
整理可以得到：a=2.5m/s²
根据运动学公式：v₁²=2as
整理可以得到：s=12.8m＜15m
则知箱子与传送带共速后做匀速运动
根据速度公式：v₁=at₁
则：t₁=3.2s
与传送带一起匀速运动：L-s=v₁t₂
则：t₂=0.275s
故总时间为 t=t₁+t₂=3.475s
（2）在传送带Ⅱ上箱子先向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律：
  f₁+mgsin37°=ma₁；
摩擦力为：f₁=μ₂mgcos37°
整理可以得到：a₁=10m/s²．
根据运动学公式：${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2a₁s_物1；
则：s_物1=2.4m
当达到传送带速度时，由于mgsin37°＞μ₂mgcos37°，所以箱子继续减速运动
则根据牛顿第二定律：mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂；
整理可以得到：a₂=2m/s²
根据运动学公式：0-v₂²=-2a₂s_物2
所以：s_物2=4m
由于s_物1+s_物2=6.4m＜8m，所以物体不能运送到高处平台上
第一段减速时间：t_减1=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{-{a}_{1}}$=$\frac{4-8}{-10}$=0.4s
此过程中传送带的位移大小 s_减1=v₂t_减1=4×0.4=1.6m
两者相对位移△s₁=s_物1-s_减1=2.4-1.6=0.8m
产生的热量为：Q₁=μ₂mgcos37°△s₁
解得 Q₁=3.2J
第二阶段：t_减2=$\frac{0-{v}_{2}}{-{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2s
此过程中传送带的位移大小 s_减2=v₂t_减2=4×2=8m
两者相对位移△s₂=s_减2-s_物2=8-4=4m
产生的热量为：Q₂=μ₂mgcos37°△s₂
解得 Q₂=16J
故总的热量为：Q=Q₁+Q₂=19.2J．
答：（1）装着物体的箱子在传送带Ⅰ上运动的时间是3.475s；
（2）箱子不能运送到高处平台上，在传送带Ⅱ上箱子向上运动的过程中产生的内能是19.2J．

点评 解答本题的关键是弄清楚物块的受力情况和运动情况；对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．