Question

17．在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在匀强电场，第Ⅳ象限存在匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求
（1）经过N点的速度v；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
（3）粒子从M点运动到P点的总时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于电场进入第一象限，做类平抛运动，根据速度的分解求经过N点的速度v．
（2）粒子由N到达P做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可由牛顿第二定律求出在磁场中运动的轨道半径r．
（3）根据几何关系求出ON，由类平抛运动的规律求出粒子在电场中运动时间．得到粒子在磁场中转动的圆心角，再由圆周运动的性质求得磁场中运动时间，从而得到总时间．

解答 解：（1）设粒子过N点时速度v，有 $\frac{v_0}{v}$=cosθ　　　　　①
可得 v=2v₀              ②
（2）粒子在磁场中以O′为圆心做匀速圆周运动，半径为O′N，有
qvB=$\frac{{m{v^2}}}{r}$ ③
得 r=$\frac{{2m{v_0}}}{qB}$ ④
（3）由几何关系得
  ON=rsinθ             ⑤
粒子在电场中运动的时间t₁，有
   ON=v₀t₁             ⑥
可得 t₁=$\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$   ⑦
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
 T=$\frac{2πm}{qB}$  ⑧
设粒子在磁场中运动的时间t₂，有
 t₂=$\frac{π-θ}{2π}T$  ⑨
解得 t₂=$\frac{2πm}{3qB}$  ⑩
所以总时间为 t=t₁+t₂
解得 t=$\frac{{（3\sqrt{3}+2π）m}}{3qB}$
答：
（1）经过N点的速度v是2v₀；
（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r是$\frac{{2m{v_0}}}{qB}$；
（3）粒子从M点运动到P点的总时间t是$\frac{{（3\sqrt{3}+2π）m}}{3qB}$．

点评 粒子在电场中运动偏转时，常运用运动的合成与分解研究．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练运用几何知识解决物理问题．