Question

如图，竖直平面内有一个

3

4

圆弧形光滑轨道，圆弧半径为R，AD为水平面，A端与圆心O等高，B点在圆心O的正上方，一个质量为m的小球（可看作质点），自A点以竖直向下的大小为2

gR

的初速度进入圆弧轨道，经过圆弧上的B点飞出后落到C点．已知当地重力加速度为g，忽略空气阻力．求
（1）小球通过B点时的速度大小；
（2）小球通过B点时对轨道的压力大小；
（3）AC两点间的距离．

Answer 1

分析：（1）小球离开B点做平抛运动，根据机械能守恒定律求解小球通过B点时的速度大小；
（2）小球到达B点时，由重力和轨道的压力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球所受的轨道的弹力，再根据牛顿第三定律得到小球通过B点时对轨道的压力大小；
（3）小球离开B点做平抛运动，高度决定时间，根据时间和B点的速度求出水平距离，即可求得AC间的距离．

解答：解：（1）A点到B点，由机械能守恒定律得：
   -mgR=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

由以上解得：vB=

2gR

（2）B点由牛顿第二定律得：
  F+mg=

mvB2

R

解得：F=mg
由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为mg．
（3）B到C平抛运动 R=

1

2

gt2
又 x=v_Bt                   
则 x_AC=2R-R=R            
则AC两点间的距离为R．
答：
（1）小球通过B点时的速度大小为

2gR

；
（2）小球通过B点时对轨道的压力大小为mg；
（3）AC两点间的距离为R．

点评：解决本题的关键要分析小球圆周运动的向心力来源、掌握平抛运动、牛顿运动定律进行求解．