Question

11．如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的$\frac{1}{4}$圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的$\frac{23}{3}$倍，取g为10m/s．
（1）试求高度H的大小；
（2）小球到达CDO轨道的最高点O的速度；
（3）求小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）设小球通过D点的速度为v，根据向心力公式列出方程，小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，可解得H的高度；
（2）根据机械能守恒求得速度；
（3）根据机械能守恒定律求出小球通过O点的速度，与O点的临界速度进行比较，判断能否越过O点，若能越过O点，将做平抛运动，根据平抛运动水平位移和竖直位移的关系求出平抛运动的时间，从而求出竖直方向上的分速度，根据平行四边形定则求出落回轨道上时的速度大小．

解答 解：（1）在C点对轨道的压力等于重力的$\frac{23}{3}$倍，由牛顿第三定律得在C点轨道对小球的支持力大小为$\frac{23}{3}$mg
设小球过C点速度v₁
$\frac{23}{3}mg-mg=\frac{{mv}_{1}^{2}}{\frac{R}{2}}$
P到C过程，由机械能守恒：
$mg（H+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：H=10m
（2）设小球能到达O点，由P到O，机械能守恒，到O点的速度v₂：
$mgH=\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$
${v}_{2}=\sqrt{2gh}=10\sqrt{2}$m/s
（3）小球在O点的速度${v}_{2}=10\sqrt{2}m/s$
离开O点小球做平抛运动：
水平方向：x=v₂t
竖直方向：$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
且有：x²+y²=R²
解得：t=1s     再次落到轨道上的速度${v}_{3}=\sqrt{{v}_{2}^{2}+（gt）^{2}}=10\sqrt{3}m/s$
答：（1）高度H的大小为10m；
（2）小球到达CDO轨道的最高点O的速度为$10\sqrt{2}m/s$；
（3）求小球沿轨道运动后再次落回轨道上时的速度大小为10$\sqrt{3}$m/s

点评 整个过程中物体的机械能守恒，离开O点小球做平抛运动，直到落到轨道上，知道物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．