Question

7．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l₀到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向．在电场左边界上A（-2l₀，-l₀）到C（-2l₀，0）区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒子．从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v₀沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l₀）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示．不计粒子的重力及它们间的相互作用．
（1）求匀强电场的电场强度E；
（2）求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
（3）若以直线x=2l₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

Answer 1

分析 （1）将带电粒子的运用沿水平和竖直方向正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向在x轴上下方都做匀变速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析；
（2）先画出运动的一般轨迹，要使粒子通过电场后能沿x轴正方向运动，其第一次到达x轴的水平分位移的2n倍等于2l₀，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析即可；
（3）先画出各个粒子的运动轨迹，然后根据题意确定磁场范围，最后根据洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度．

解答 解：（1）设从A点射入的粒子由A点到A'点的运动时间为t，根据运动轨迹的对成称性可得：
x方向有：2l₀=v₀t得$t=\frac{{2{l_0}}}{v_0}$    ①
y方向有：${l_0}=\frac{qE}{2m}{（\frac{t}{2}）^2}$       ②
解得     $E=\frac{2mv_0^2}{{q{l_0}}}$         ③
即从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t为$\frac{2{l}_{0}}{{v}_{0}}$，匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}}$．
（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次到达x轴用时△t，水平分位移△x，
则△x=v₀△t     ④
$△y=\frac{qE}{2m}{（△t）^2}$   ⑤
要粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须满足条件2l₀=n•2△x（n=1，2，3…）      ⑥
联立③④⑤⑥解得：$△y=\frac{1}{n^2}{l_0}$⑦
故粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须是在AC间纵坐标为：$y={（-1）}^{n}\frac{1}{{n}^{2}}{l}_{0}，（n=1，2，3…）$⑧
（3）当n=1时，粒子射出的坐标为y₁=l₀⑨
当n=2时，粒子射出的坐标为${y_2}=-\frac{1}{4}{l_0}$⑩
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y₁到y₂之间（如图所示）．
y₁、y₂之间距离为  $L={y_1}-{y_2}=\frac{{5{l_0}}}{4}$   （11）
所以，磁场圆O₁的最小半径$R=\frac{L}{2}=\frac{{5{l_0}}}{8}$  （12）
若使粒子经磁场后汇集于直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点，分析知此点只能是答图中的Q点，且粒子在磁场中做圆周运动的半径等于磁场区域圆半径．    
由  $q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$  （13）
联立（12）（13）得：$B=\frac{{8m{v_0}}}{{5q{l_0}}}$  （14）
即磁场区域的最小半径是$\frac{5{l}_{0}}{8}$，相应的磁感应强度B是$\frac{8m{v}_{0}}{5q{l}_{0}}$．
答：（1）匀强电场的电场强度是$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q{l}_{0}}$；
（2）粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须是在AC间纵坐标为：$y={（-1）}^{n}\frac{1}{{n}^{2}}{l}_{0}，（n=1，2，3…）$；
（3）若以直线x=2l₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是$\frac{5{l}_{0}}{8}$；相应的磁感应强度B是$\frac{8m{v}_{0}}{5q{l}_{0}}$．

点评 本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要画出准确的圆轨迹图分析才能有助与问题的解决．