Question

（2013?威海模拟）如图甲所示，两个完全相同的平行板电容器PQ和MN，板间距离为d，极板长为L，极板厚度不计．将它们置于图示方向足够大的匀强磁场中，磁感应强度为B₀，两电容器极板的左端和右端分别对齐，两电容器极板所加电压值相同．一质量为m、电荷量为+q、重力不计的粒子从极板P、Q间的中轴线O₁O₂左边缘的O₁点，以速度v₀沿O₁O₂匀速穿过电容器PQ，经过磁场偏转后沿极板M、N的中轴线O₃O₄做匀速直线运动，又经过磁场回到O₁点，如此循环往复．不计电容器之外的电场对粒子运动的影响．求：
（1）极板P、Q，M、N间所加电压的数值U．
（2）Q板和M板间的距离x．
（3）粒子从O₁点开始运动到再次回到O₁点所用的时间．
（4）若撤去电容器上所加的电压，将原磁场换作按图乙规律变化的磁场，取垂直纸面向里为磁场的正方向．粒子仍从O₁点沿O₁O₂在0时刻以速度v₀进入电容器PQ，在t₀时刻恰好从P板右边缘水平射出（t₀为未知量）．则B₁为多少？

Answer 1

分析：（1）正电荷在PQ间做匀速直线运动，受洛伦兹力和电场力，根据平衡条件列式；然后根据U=Ed列式；最后联立求解；
（2）正电荷在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，列式求得轨迹的半径，即可由几何关系得到x应满足的条件；
（3）粒子运动一周，先根据T=

2πm

qB

和t=

θ

2π

T求解磁场中运动时间；再根据t=

2L

v0

求解复合场中运动的时间；最后相加即可；
（4）画出运动轨迹，结合几何关系求解出轨道半径；然后根据洛伦兹力提供向心力列式，求解出磁感应强度．

解答：解：（1）做匀速直线运动时，正电荷受到的电场力与受到的磁场力平衡，有：
qE=qv₀B₁
匀强电场中：
E=

U

d

则：U=B₀v₀d；
（2）电荷在磁场中的运动：
qv0B0=m

v 2 0

r

则正电荷做圆周运动的半径为：
r=

mv0

qB0

x=2r-d
则：x=

2mv0

qB 0

-d；
（3）由公式T=

2πr

v0

得：
T=

2πm

qB0

粒子在磁场中运动的总时间为：
t₁=T=

2πm

qB0

粒子在两平行板间运动的总时间为：
t₂=2

L

v0

粒子运动的总时间为：
t=t₁+t₂=

2πm

qB0

+

2L

v0

；
（4）由几何知识可知：

r

2 1

=(r1-

d

4

)2+(

L

2

)2
又洛伦兹力提供向心力，有：
qv0B1=m

v 2 0

r1

联立解得：B1=

8mv0d

q(d2+4L2)

；
答：（1）极板P、Q，M、N间所加电压的数值U为B₀v₀d．
（2）Q板和M板间的距离x为

2mv0

qB 0

-d．
（3）粒子从O₁点开始运动到再次回到O₁点所用的时间为

2πm

qB0

+

2L

v0

．
（4）B₁为

8mv0d

q(d2+4L2)

．

点评：本题关键是明确粒子的运动规律，然后分匀速圆周运动和匀速直线运动阶段进行讨论，不难．