Question

18．如图所示，竖直平面内$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道半径为R，等边三角形ABC的边长为L，顶点C恰好位于圆周最低点，CD是AB边的中垂线．在A、B两顶点上放置一对等量异种电荷．现把质量为m带电荷量为+Q的小球由圆弧的最高点M处静止释放，到最低点C时速度为v₀．不计+Q对原电场的影响，取无穷远处为零电势，静电力常量为k，则（　　）

• A． 小球在圆弧轨道上运动过程机械能守恒
• B． C点电势与D点电势相同
• C． M点电势为$\frac{1}{2Q}$（mv₀²-2mgR）
• D． 小球对轨道最低点C处的压力大小为mg+m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$+k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$

Answer 1

分析 此题属于电场力与重力场的复合场，根据机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功，分析机械能是否守恒．根据电场线的分布情况，分析C与D两点的电势关系．由动能定理求MC间的电势差，从而求得M点的电势．由牛顿定律求小球对轨道最低点C处的压力大小．

解答 解：A、小球在圆弧轨道上运动的过程中，重力对小球做功，还有电场力对小球要做功，所以其机械能不守恒，故A错误；
B、C、D两点位于AB两电荷产生的电场的等势能面上，电势相同，故B正确；
C、小球从M到C的过程中，根据动能定理得：qU_MC+mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²，取无穷远处电势为零，可知，CD所在等势面电势为零，C点的电势为零．由U_MC=φ_M-φ_C，
联立两式解得，M点的电势为 φ_M=$\frac{1}{2Q}$（mv₀²-2mgR），故C正确；
D、小球对轨道最低点C处时，+q和-q两个点对小球的库仑力大小均为k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，它们的夹角为120°，根据几何知识可知库仑力的合力大小为 k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，方向向下．
根据牛顿第二定律得 N-k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，得 N=mg+m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$+k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，由牛顿第三定律知：小球对轨道的压力为mg+m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$+k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$，故D正确；
故选：BCD

点评 此题的难度在于计算小球到最低点时的电场力的大小，注意AB处有等量异种电荷，CD是AB边的中垂线，则CD是一条等势线，且一直延伸到无穷远处．