Question

8．如图所示，两块直径为2L的同心半圆形带电金属板A、B固定在竖直平面内，两板间的距离很近，可认为A、B间的电场场强大小处处相等、方向都指向圆心O．在A、B左侧有方向水平向右、场强大小为E的匀强电场．现从正对A、B板间隙、到两板的一端距离为d处由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带正电微粒（不计重力），发现此微粒恰能在两板间运动而不与板发生相互作用． 
（1）求A、B之间电场的场强大小．
（2）从释放微粒开始，经过多长时间微粒的水平位移最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）运用动能定理研究微粒在加速电场的过程．微粒进入半圆形金属板后，电场力提供向心力，列出等式求解．
（2）匀加速直线运动和匀速圆周运动运用各自的规律求解时间．

解答 解：（1）设微粒穿过AB小孔时的速度为v，根据动能定理，有qEd=$\frac{1}{2}$mv²-0…①
解得v=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$
 微粒进入半圆形金属板后，电场力提供向心力，有
qE_AB=m$\frac{{v}^{2}}{L}$…②
联立①、②，得E_AB=$\frac{2Ed}{R}$，
（2）从释放微粒开始，达到与O水平高度时水平位置最大，L_max=d+L，
在电场E中加速度a=$\frac{Eq}{m}$，
运动时间t₁=$\frac{v}{a}$=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$$•\frac{m}{Eq}$=$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$，
在AB轨道内运动路程为$\frac{1}{4}$×2πL=vt₂
t₂=$\frac{\frac{1}{2}πL}{v}$=$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$，
总时间t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$+$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$
所以从释放微粒开始，经过（t₁+t₂）粒子第一次到达水平位置最大点．之后，经过t₂达到AB板的上边，再经过t₁达到与释放点在同一条竖直线上的点，然后返回；经过（t₁+t₂）第二次达到水平位置最大点．
从开始运动到第二次达到水平位置最大点的总时间：t=3（t₁+t₂）
同理，从开始运动到第三次达到水平位置最大点的总时间：t=5（t₁+t₂）
所以，从开始运动到第n次达到水平位置最大点的总时间：t=（2n-1）（t₁+t₂）=（2n-1）（$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$+$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$）；
答：（1）A、B之间电场的场强大小为$\frac{2Ed}{R}$．
（2）从释放微粒开始，经过（2n-1）（$\sqrt{\frac{2md}{qE}}$+$\frac{1}{2}πL$$\sqrt{\frac{m}{2qEd}}$）时间微粒的水平位移最大，最大值为d+L．

点评 了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．
圆周运动问题的解决析关键要通过受力分析找出向心力的来源．注意物体的往复运动．