Question

15．如图所示，水平面A点左侧光滑，右侧粗糙，一同学站在小车上随木箱一起以1m/s共同速度在光滑水平面上向右运动．运动到A点前一瞬间，该同学迅速用力将木箱推出，结果人和车刚好停在A点，木箱以一定的速度从A点继续向右运动，木箱与竖直墙碰撞后，反弹的速度大小只有碰撞前的$\frac{1}{2}$，过一段时间，人又接到木箱，并随木箱一起共同向左运动．已知A到墙的距离为0.25m，箱子与粗糙水平面间的动摩擦因数为0.2，人和车的质量为m₁=60kg．木箱的质量为m₂=30kg，不计人推箱及箱与墙碰撞的时间，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）人从推出木箱到再接到木箱所用的时间；
（2）人两次对木箱的作用力冲量大小之比及两次作用中箱对人和车做的总功．

Answer 1

分析 （1）人第一次推木箱过程，由动量守恒定律列式求解木箱的速度，再根据牛顿第二定律求出木箱运动到墙壁的时间，同理求出木箱运动到人的时间，然后求和；
（2）由动量守恒定律求出人接住木箱后的速度，然后由动量定理求出人两次对木箱的作用力冲量大小，根据动能定理求出两次作用中箱对人和车做的总功．

解答 解：（1）人第一次推木箱过程，以v₀方向为正方向，由动量守恒定律得到：
（m₁+m₂）v₀=m₂v₁
代入数据解得：v₁=3m/s．
木箱运动过程中的加速度为：a=$\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}}=μg=0.2×10=2m/{s}^{2}$
设木箱到达墙壁的时间为t₁，则有：$x={v}_{1}{t}_{1}-\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
代入数据得：${t}_{1}=1.5-\sqrt{2}$s
此时木箱的速度为：v₂=v₁-at₁
代入数据得：${v}_{2}=2\sqrt{2}$m/s
由题可知，木箱与墙壁碰撞后的速度为：${v}_{3}=\frac{1}{2}{v}_{2}=\sqrt{2}$m/s
木箱返回A的时间设为t₂，则有：$x={v}_{2}{t}_{2}-\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
代入数据得：${t}_{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$s
所以人从推出木箱到再接到木箱所用的时间为：t=t₁+t₂=$1.5-\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}-1}{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$s
（2）木箱从墙到A后的速度为：v₄=v₃-at₂，
代入数据解得：v₄=1m/s，方向向左
设人、小车与木箱一起向左运动的速度为v₅，选取向左为正方向，根据动量守恒定律得：
（m₁+m₂）v₅=m₂v₄，
代入数据解得：${v}_{5}=\frac{1}{3}$m/s
由动量定理得，第一次人对木箱的冲量大小：I₁=m₂（v₁-v₀）=30×（3-1）=60N•s
第二次人对木箱的冲量大小：${I}_{2}={m}_{2}（{v}_{4}-{v}_{5}）=30×（1-\frac{1}{3}）=20$N•s
所以：$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{60}{20}=\frac{3}{1}$
根据动能定理得两次作用中箱对人和车做的总功为：W=$△{E}_{K}=\frac{1}{2}{m}_{1}（{v}_{5}^{2}-{v}_{0}^{2}）$=$\frac{1}{2}×60×（\frac{1}{9}-1）=-\frac{80}{3}$J
答：（1）人从推出木箱到再接到木箱所用的时间是$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$s；
（2）人两次对木箱的作用力冲量大小之比是$\frac{3}{1}$，两次作用中箱对人和车做的总功是$-\frac{80}{3}$J．

点评 本题主要考查了动量守恒定律以及动能定理的直接应用，注意在应用动量守恒定律解题时要规定正方向，注意使用动能定理解题时要选好研究过程，难度适中．