Question

11．在地面上方足够高的地方，存在一个高度h=0.5m的“相互作用区域”（下图中画有虚线的部分）．一个小圆环A套在一根均匀直杆B上，A和B的质量均为m．若它们之间发生相对滑动时，会产生f=0.5mg的摩擦力．开始时A处于B的最下端．B竖直放置，A距“相互作用区域”的高度d=0.8m．让A和B一起从静止开始下落，只要A处于“相互作用区域”就会受到竖直向上、大小F=3mg的恒力作用，而“相互作用区域”对处于其中的杆B不产生作用力．杆B在下落过程中始终保持竖直，且杆的长度能够保证网环A与杆不会分离．不计空气阻力，取g=l0m/s²．求：
（1）杆B最下端离开“相互作用区域”时杆B的速度大小；
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间．

Answer 1

分析 开始阶段是B和A一起做自由落体运动，进入相互作用区之后，由于A受力变化，A将会和B发生相对滑动，
（1）B做匀减速直线运动，由位移和速度的关系，可以求出此时B的速度；
（2）A受到三个力的作用，根据牛顿定律列出受力方程，求解加速度，进入求出相互作用的时间．

解答 解：根据题意，对整体进行受力分析，列出不等式可得：
（1）对于B物体有：
F_合=mg-μmg=ma
解得：a=0.5g
又，开始阶段AB自由落体运动的末速度，
V_AB=$\sqrt{2gd}$=4（m/s）
根据位移和时间的关系：
2ax=${v}^{2}{-{v}_{AB}}^{2}$
v=$\sqrt{21}$（m/s）
（2）对于物体A
A在通过作用区是时候收到了三个力的作用，重力，摩擦力和作用区的F力，根据牛顿第二定律列出方程：
3mg-μmg-mg=ma
解得：a=1.5g
根据运动学规律位移和时间的关系x=vt-$\frac{1}{2}$at²可得：
0.5=4t-${\frac{15}{2}t}^{2}$
解得：t=0.2 或者 t=$\frac{1}{3}$（不符合实际，舍弃）．
答：（1）杆B最下端离开“相互作用区域”时杆B的速度大小为$\sqrt{21}$m/s；
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间为0.2s．

点评 本题解答思路中，开始对AB整体分析，求共同速度，之后再隔离分开分析，分别求出各自的加速度，再应用速度，位移，时间之间的规律求解，隔离分析法对解决本题很关键．