Question

20．某实验小组用如图甲所示的装置做“验证机械能守恒定律”实验．
（1）图乙为实验中选取的一条合适的纸带，O点为打点计时器打出的第一个点，A、B、C、D、E为打点计时器打出的五个连续的点，测出这五点到O点的距离分别为x_A、x_B、x_C、x_D、x_E，打点计时器所接交流电的频率为f，当地的重力加速度为g，若利用OD段验证机械能守恒定律，要验证的表达式为gx_D=$\frac{（{x}_{E}-{x}_{C}）^{2}{f}^{2}}{8}$．
（2）如果采用此装置测定当地的重力加速度，可根据纸带上的打点间隔算出打下每个点时重物运动的时间t，测出对应时间内物体下落的距离x，根据测得的距离x和算出的时间t，在平面直角坐标系中做出$\frac{x}{t}$-t的图象，如果图线的斜率是k，则当地的重力加速度为2k．

Answer 1

分析 根据物体下落，减小的重力势能转化为动能，那么由平均速度来求得瞬时速度，从而列出验证的表达式；
由机械能守恒得：mgx=$\frac{1}{2}$mv²，所以$\frac{{v}^{2}}{2}$=gx，即图线是正比例函数图线，则斜率表示重力加速度；
若作出$\frac{x}{t}$-t图象，根据运动学公式，即为平均速度与时间的图象，则图象的斜率表示重力加速度的一半．

解答 解：若利用OD段验证机械能守恒定律，要验证的表达式为mgx_D=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$
即：gx_D=$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{E}-{x}_{C}}{2}f$）²=$\frac{（{x}_{E}-{x}_{C}）^{2}{f}^{2}}{8}$，
若实验中算得动能的增加量大于重力势能的减少量，可能原因是先释放纸带再接通电．
（4）如果机械能守恒，由gh=$\frac{{v}^{2}}{2}$可知，则$\frac{{v}^{2}}{2}$-x图线为一条过原点的斜的直线，图线的斜率为当地的重力加速度g；如果机械能守恒，则重物做自由落体运动，则x=$\frac{1}{2}$gt²，
即有$\frac{x}{t}$=$\frac{1}{2}$gt，因此$\frac{x}{t}$-t图线是一条过原点的直线，图线的斜率为当地重力加速度的一半，即$\frac{g}{2}$．
如果图线的斜率是k，则当地的重力加速度为2k；
故答案为：gx_D=$\frac{（{x}_{E}-{x}_{C}）^{2}{f}^{2}}{8}$，2k．

点评 本题考查了自由落体运动中机械能守恒的验证，用图象处理数据是非常重要的数学手段．同时注意第2问题：BC选项不一定是实验必须操作步骤，最后掌握平均速度与时间的图象斜率与重力加速度的关系，是解题的难点．