Question

17．如图，A、B分别是光滑斜面的顶端和底端，F是斜面上的一个点，E点在F点的正上方，从E点以一定的水平速度抛出一个弹性小球，小球与斜面之间的碰撞无能量损失，其中EF间的高度为H，斜面的倾角为α=60°，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阳力．（计算结果可以用根式表示）
（1）如果小球正好垂直打在斜面上，求小球在碰撞之前在空中飞行的时间为多少？
（2）如果小球与斜面碰撞后，恰好水平飞出，求小球第1次碰撞时速度的大小；
（3）如果小球与斜面碰撞后，恰好水平飞出，求小球从第1次与斜面碰撞到第n次碰撞时，小球的位移是多少？

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，正好垂直打在斜面上时速度与斜面垂直．根据几何关系分析小球打在斜面上时分速度的关系，由平抛分位移公式求小球在碰撞之前在空中飞行的时间．
（2）根据对称性可知，小球落在斜面上时的速度方向与水平方向成α角．再用同样的方法求出时间，再由分速度公式和速度合成求小球第1次碰撞时速度．
（3）小球从第1次与斜面碰撞后，把此运动分解为平行于斜面与垂直于斜面两个方向．垂直于斜面方向建立y轴：小球先正向匀减速到0，然后返回与斜面相碰，以后重复，周期性往复运动，且运动周期为 T=$\frac{2v′sinα}{gcosα}$．沿斜面向下建立x轴，在x轴上小球做初速度为v′cosα、加速度为 gsinα的匀加速直线运动．根据周期性和位移公式求解位移．

解答 解：（1）小球正好垂直打在斜面上，根据平抛运动的规律有
 
 水平方向：x=v₀t
  竖直方向：h₁=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
由几何关系得 $\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=tan60°
联立以上三式解得 x=2$\sqrt{3}$h₁
则 h₂=xtan60°=6h₁
而 H=h₁+h₂，
可得 h₁=$\frac{H}{7}$
由 h₁=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=$\sqrt{\frac{2H}{7g}}$
（2）根据反射角等于入射角知，小球落在斜面上时的速度方向与水平方向成α角．
由图得 $\frac{{v}_{y}′}{{v}_{0}}$=tan60°
平抛运动过程，水平方向有：
     x′=v₀t′
竖直方向有：h₁′=$\frac{{v}_{y}′}{2}t′$
由上得 x′=$\frac{2}{\sqrt{3}}$h₁′
而 h₂′=x′tan60°=$\frac{2}{3}$h₁′
又 h₂′+$\frac{2}{3}$h₁′=H
解得 h₁′=$\frac{3}{5}$H，x′=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$H
由 h₁′=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，得 t′=$\sqrt{\frac{6H}{5g}}$
小球落在斜面上时竖直分速度 v_y′=gt′=$\sqrt{\frac{6}{5}gH}$
水平分速度 v₀=$\frac{x′}{t′}$=$\sqrt{\frac{2}{5}gH}$
小球第1次碰撞时速度的大小为 v₁′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}{′}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}gH}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}gH}$
（3）把此运动分解为平行于斜面与垂直于斜面两个方向．如图．

y轴上：小球先正向匀减速到0，然后返回与斜面相碰，以后重复，周期性往复运动，且运动周期为 T=$\frac{2v′sinα}{gcosα}$=4$\sqrt{\frac{6H}{5g}}$
x轴上做初速度为v′cosα、加速度为 gsinα的匀加速直线运动．
小球从第1次与斜面碰撞到第n次碰撞，历时 t₀=（n-1）T
位移 x=v′cosα•t₀+$\frac{1}{2}$gsinα$•{t}_{0}^{2}$
综上解得 x=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$（n-1）（3n+1）H
答：
（1）小球在碰撞之前在空中飞行的时间为$\sqrt{\frac{2H}{7g}}$．
（2）如果小球与斜面碰撞后，恰好水平飞出，小球第1次碰撞时速度的大小是2$\sqrt{\frac{2}{5}gH}$；
（3）如果小球与斜面碰撞后，恰好水平飞出，小球从第1次与斜面碰撞到第n次碰撞时，小球的位移是$\frac{8\sqrt{3}}{5}$（n-1）（3n+1）H．

点评 利用平抛运动的规律，在水平和竖直方向列方程，同时要充分的利用三角形的边角关系，找出内在的联系．本题还要掌握平抛运动的两种分解方法，灵活选择解题方法．