Question

17．己知地球和火星的半径分别为r_l、r₂，绕太阳公转轨道可视为圆，轨道半径分别为r₁′、r₂′，公转线速度分别为v_l′、v₂′，地球和火星表面重力加速度分别为g₁、g₂，平均密度分别为ρ₁、ρ₂．地球第一宇宙速度为v₁，飞船贴近火星表面环绕线速度为v₂，则下列关系正确的是（　　）

• A． $\frac{{{{v'}_1}}}{{{{v'}_2}}}=\sqrt{\frac{{{{r'}_2}}}{{{{r'}_1}}}}$
• B． $\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
• C． ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²
• D． g₁r₁²=g₂r₂²

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$去求地球和火星公转的线速度之比，以及近地卫星的速度之比．根据万有引力等于重力求星球表面重力加速度之比，结合密度公式研究．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{r{′}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，r′是行星公转半径，地球和火星的公转半径之比为r₁′：r₂′，所以公转线速度之比$\frac{v{′}_{1}}{v{′}_{2}}$=$\sqrt{\frac{r{′}_{2}}{r{′}_{1}}}$，故A正确；
B、与行星公转相似，对于卫星，线速度表达式也为v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$由于不知道地球和火星的质量之比，所以无法求出$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$，故B错误．
C、卫星贴近表面运行时，有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得：M=$\frac{r{v}^{2}}{G}$
行星的密度为：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{{3v}^{2}}{4πG{r}^{2}}$（其中T为星球表面卫星运行的周期，r为星球半径），故$\frac{ρ{r}^{2}}{{v}^{2}}$=$\frac{3}{4πG}$为定值，故ρ₁r₁²v₂²=ρ₂r₂²v₁²，故C正确．
D、在行星表面，由重力等于万有引力，有 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg，r是行星的半径，得：g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，则有 GM=gr²，由于地球与火星的质量不等，则g₁r₁²≠g₂r₂²．故D错误．
故选：AC

点评 解决本题的关键搞清楚公转、第一宇宙速度等问题中，谁是中心天体，谁是环绕天体，然后根据万有引力提供向心力，万有引力等于重力进行求解．