Question

5．如图所示，细绳系一小球（如图甲所示）或轨道内侧的小球（如图乙所示）在竖直面内做圆周运动，在最高点时的临界状态为只受重力作用，则有mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，故小球能通过最高点的临界速度v=$\sqrt{gr}$．
试证明小球在最高点时：
（1）v=$\sqrt{gr}$，拉力或压力为零；
（2）v＞$\sqrt{gr}$，小球受向下的拉力或压力作用；
（3）v＜$\sqrt{gr}$，小球不能到达最高点．
即轻绳模型的临界速度为v_临=$\sqrt{gr}$．

Answer 1

分析 利用小球做圆周运动时的向心力与速度之间的关系式F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$以及向心力是沿半径方向上的所有力的合力即可证明．

解答 解：（1）、当小球的速度v=$\sqrt{gr}$时，在最高点需要的向心力为：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mg，此时需要的向心力与重力大小相等，方向为重力的方向，即重力提供向心力，所以此时拉力或压力为零；
（2）当小球的速度v＞$\sqrt{gr}$，在最高点需要的向心力为：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$＞mg，此时需要的向心力大于重力，方向为重力的方向，重力不足以提供小球的向心力，所以小球要做圆周运动，小球还得受向下的拉力或压力作用；
（3）当小球的速度v＜$\sqrt{gr}$，在最高点需要的向心力为：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$＜mg，所以小球会在上升的过程中脱离圆形轨道，不能到达最高点．
由以上阐述可知，轻绳模型的临界速度为v_临=$\sqrt{gr}$．
答：证明过程如上．

点评 对于竖直面内的圆周运动，关键搞清小球向心力的来源，是沿半径方向上的所有力的合力．运用牛顿第二定律进行求解，知道杆子可以表现为拉力，也可以表现为支持力．注意在竖直面内的运动有两种模型：轻绳类和轻杆类．
1、轻绳类：运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动．由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力．
2、轻杆类：运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态．所以质点过最高点的最小速度为零
竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类：
竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；
汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动．