Question

17．已知下列数据：
（1）地面附近物体的重力加速度g=9.8m/s² 
（2）地球半径R=6.4×10⁶m
（3）万有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²   
（4）月球与地球的球心距离r=3.8×10⁸m                  
（5）第一宇宙速度v₁=7.9×10³m/s
根据以上数据，要求用三种方法计算地球质量M．结果保留一位有效数字．

Answer 1

分析 方法一：利用地面重力等于万有引力列式求解地球质量；
方法二：利用月球的万有引力提供向心力列式求解地球质量；
方法三：第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，利用牛顿第二定律列式求解地球质量；

解答 解：方法一：
在地面附近，不考虑地球自传，重力等于万有引力，故：
mg=$G\frac{Mm}{R^2}$
解得：
M=$\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{9.8×{{（6.4×1{0^6}）}^2}}}{{6.67×1{0^{-11}}}}kg=6×{10^{24}}kg$
方法二：月球的公转周期为27天，根据万有引力等于向心力，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
解得：
M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}=\frac{{4×{{3.14}^2}×{{（3.8×1{0^8}）}^3}}}{{6.67×1{0^{-11}}×{{（27×24×3600）}^2}}}=6×{10^{24}}kg$
方法三：
第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v_1^2}{R}$
解得：$M=\frac{v_1^2R}{G}=\frac{{{{（7.9×1{0^3}）}^2}×6.4×1{0^6}}}{{6.67×1{0^{-11}}}}=6×{10^{24}}kg$
答：地球质量M约为6×10²⁴kg．

点评 估算地球质量，可以利用重力等于万有引力列式求解，也可以利用卫星的万有引力等于向心力列式求解，基础题目．