Question

18．如图，竖直面内建立坐标系xOy，y轴左侧有匀强电场（图中未画出），虚线是过原点O的某条曲线．现将一群带电微粒（电量q=0.01C，质量m=0.01kg）从曲线上的任意位置水平抛出，初速度均为v，微粒均能到达原点O，且过原点后均做直线运动．若在y轴左侧再加匀强磁场，磁感应强度B=1T，方向垂直于纸面，则微粒到达原点O后，均能通过y轴上的P点，P点的坐标（0，-4m）．（不计空气阻力，不考虑微粒间的相互作用，g=10m/s²）求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）这些微粒抛出的初速度v₀及加磁场后这些微粒从O到P过程中可能经过的区域面积S；
（3）这些微粒的抛出点所在曲线对应的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由粒子过原点后均做直线运动得到粒子受力平衡，进而求得电场强度；
（2）由牛顿第二定律得到半径的表达式，然后再由几何关系得到半径的另一表达式，联立求得初速度；分析粒子随速度变化在磁场中的运动轨迹变化，进而得到面积；
（3）由粒子在第一象限做平抛运动，通过水平、竖直位移公式求解．

解答 解：（1）粒子过原点后均做直线运动，则粒子受力平衡，那么，电场力方向向上且qE=mg，解得：$E=\frac{mg}{q}=\frac{0.01×10}{0.01}N/C=10N/C$ 且方向竖直向上；
（2）加磁场后粒子在y轴左侧运动时所受合外力为洛伦兹力，则粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动；
设粒子在O点的速度为v，v与y轴负方向的夹角为θ，则有$sinθ=\frac{{v}_{0}}{v}$；
所以有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}$；
再由图所示几何关系可知，

$sinθ=\frac{2}{R}$；
所以，${v}_{0}=\frac{2v}{R}=\frac{2Bq}{m}=\frac{2×1×0.01}{0.01}m/s=2m/s$；
那么，0＜θ≤90°，则当θ无限接近0时，粒子趋于沿OP运动；随着θ增大，运动轨迹所成圆弧向左凸起，直至θ=90°时，圆弧成完整半圆，
所以，粒子从O到P过程中可能经过的区域面积为：$S=\frac{1}{2}π（\frac{OP}{2}）^{2}=2π$（m²）；
（3）粒子在第一象限只受重力作用，做平抛运动，设抛出点坐标为（x，y），则有：
x=v₀t，$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
所以，$y=\frac{1}{2}g×（\frac{x}{{v}_{0}}）^{2}=\frac{5}{4}{x}^{2}$；
答：（1）匀强电场的电场强度E大小为10N/C，方向竖直向上；
（2）这些微粒抛出的初速度v₀为2m/s，加磁场后这些微粒从O到P过程中可能经过的区域面积S为2π（m²）；
（3）这些微粒的抛出点所在曲线对应的函数关系式为$y=\frac{5}{4}{x}^{2}$．

点评 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力做向心力，那么粒子的运动速度与径向垂直，且粒子做圆周运动的圆心一定在弦长的垂直平分线上．