Question

12．电流是国际单位制中七个基本物理量之一，也是电学中常用的概念．金属导体导电是由于金属导体内部存在大量的可以自由移动的自由电子，这些自由电子定向移动形成电流．
（1）电子绕核运动可等效为一环形电流．设处于基态氢原子的电子绕核运动的半径为R，电子质量为m，电量为e，静电力常量为k，求此环形电流的大小．
（2）一段横截面积为S、长为l的金属导线，单位体积内有n个自由电子，电子电量为e．自由电子定向移动的平均速率为v．
a．求导线中的电流；
b．按照经典理论，电子在金属中运动的情形是这样的：在外加电场（可通过加电压实现）的作用下，自由电子发生定向运动，便产生了电流．电子在运动的过程中要不断地与金属离子发生碰撞，将动能交给金属离子（微观上使其热运动更加剧烈，宏观上产生了焦耳热），而自己的动能降为零，然后在电场的作用下重新开始加速运动（为简化问题，我们假定：电子沿电流方向做匀加速直线运动），经加速运动一段距离后，再与金属离子发生碰撞．电子在两次碰撞之间走的平均距离叫自由程，用L表示．请从宏观和微观相联系的角度，结合能量转化的相关规律，求金属导体的电阻率．

Answer 1

分析 （1）电子在库仑力作用下做匀速圆周运动，根据运动规律可求得周期，再根据电流的定义可求得等效电流；
（2）a、根据电流形成的微观意义可明确其对应的微观表达式；
b、根据题意进行分析，明确电流的微观表达式，再根据电阻定律进行分析，即可求得电阻率．

解答 解：（1）电子绕原子核做匀速圆周运动，有：
$\frac{k{e}^{2}}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
周期为：T=$\frac{2πR}{v}$
解得：T=$\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{k}}$
电子绕原子核运动的等效电流为：I=$\frac{e}{T}$=$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{R}^{3}}}$；
（2）a．导体中电流大小为：I=$\frac{q}{t}$ 
t时间内电子运动的距离长度为vt，则其体积为svt，通过导体某一截面的自由电子数为nSvt，该时间内通过导体该截面的电量：
q=nSvte
所以得：I=nesv
b．导体中电流强度的微观表达式为：I=nesv
自由程L段内根据电阻定律：R=$\frac{ρL}{s}$
根据欧姆定律：R=$\frac{U}{I}$
自由程内，电子在电场作用下，速度从0增加到v'； 由动能定理：eU=$\frac{1}{2}$mv'²
又由于v=$\frac{v′}{2}$，
可得出电阻率ρ的表达式为：ρ=$\frac{2mv}{n{e}^{2}L}$
答：（1）此环形电流的大小为$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{R}^{3}}}$；
（2）a、导线中的电流为nesv
b、电阻率ρ的表达式为ρ=$\frac{2mv}{n{e}^{2}L}$

点评 本题考查电流的微观表达式及电流定律的应用，在解题时要注意明确题意，从题干中找出有用的信息，在建立我们常见的物理模型，即可根据物理规律分析求解．