Question

（2011?南昌模拟）如图所示，真空中有直角坐标系xOy，P是坐标中的一个点，坐标是（a，-b）．有一质量为m、电荷量为+q的质点A从原点O沿y轴正方向以速度v₀射出，不计重力的影响．
（1）若在x≥0和y≥0的区域内加一个垂直于坐标系平面的匀强磁场，使质点A能通过P点．试求出磁感应强度B的大小和方向以及质点A从坐标原点O运动到P点的时间t；
（2）若在x轴上固定一个带负电的点电荷C，使质点A能保持速率不变，并通过P点．求点电荷C与坐标原点O的距离和点电荷C所带电荷量的大小，已知静电力常量为k．

Answer 1

分析：（1）质点进入匀强磁场后，受到洛伦兹力，做匀速圆周运动，画出轨迹，由几何知识求出半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度B的大小．由左手定则判断B的方向．根据时间与周期的关系求出质点在磁场中运动的时间．质点进入第四象限后，做匀速直线运动，由位移与速度求出时间，再求总时间．
（2）洛伦兹力不做功，不能改变质点的速度大小．由题，使质点A能保持速率不变，质点应以点电荷C为圆心做匀速圆周运动，由几何知识求出半径．质点由库仑力提供向心力，根据牛顿第二定律求解点电荷C所带电荷量的大小．

解答：解：
（1）在匀强磁场中，质点A做匀速圆周运动，半径R=

a

2

又有qv₀B=m

v 2 0

R

，解得B=

2mv0

qa

，磁感应强度方向垂直纸面向外
在匀强磁场中的周期为T=

2πm

qB

=

πa

v0

运动时间为t1=

T

2

=

πa

2v0

质点A出匀速磁场后做匀速直线运动，运动时间为t2=

b

v0

则总时间t=t₁+t₂=

πa+2b

2v0

（2）应以带电的点电荷C为圆心做匀速圆周运动，设半径为r，有
  （a-r）²+b²=r²
解得，r=

a2+b2

2a

故点电荷C与坐标原点O的距离为

a2+b2

2a

．
又有k

Qq

r2

=m

v 2 0

r

联立解得Q=

(a2+b2)m v 2 0

2kaq

答：
（1）磁感应强度B=

2mv0

qa

，磁感应强度方向垂直纸面向外．质点A从坐标原点O运动到P点的时间t=

πa+2b

2v0

；
（2）点电荷C与坐标原点O的距离为

a2+b2

2a

，点电荷C所带电荷量的大小Q=

(a2+b2)m v 2 0

2kaq

．

点评：本题是磁场中圆周运动与电场中圆周运动的比较，原理相同：分析受力，确定向心力的来源．根据几何知识求轨迹半径是关键．