Question

12．如图甲所示，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑斜面，一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态．一质量为m的滑块从距离弹簧上端为s₀处由静止释放．设滑块与弹簧接触过程中没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g．
（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t₁．
（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为v_m，求滑块从静止释放到速度大小为v_m过程中弹簧的弹力所做的功W．
（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中定性画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系图象．（图中横坐标轴上的t₁、t₂及t₃分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v₁为滑块在t₁时刻的速度大小v_m是题中所指的物理量．本小题不要求写出计算过程）

Answer 1

分析 （1）通过牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出时间；
（2）在下滑到最大速度时由动能定理求的弹簧的弹力所做功；
（3）0-t₁时做匀加速运动，在t₁-t₂时间段内，做加速度逐渐减小的变加速运动，在t₂-t₃时间段内做加速度逐渐增大的减速运动；

解答 解：（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有：
mgsinθ=ma                      
${s}_{0}=\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$               
联立解得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{s}_{0}}{gsinθ}}$                                  
（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为x₀，则有：
mgsinθ=kx₀                        
从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得：
$mgsinθ（{s}_{0}+{x}_{0}）+W=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}$                  
$W=\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}-mgsinθ（{s}_{0}+\frac{mgsinθ}{k}）$
（3）假设t₁时刻速度为v₁，这段时间内匀加速运动我们描点用刻度尺连线即可；设t₂时刻速度达到最大，t₁到t₂时刻物体做加速度减小的加速运动，画一段斜率逐渐减小的平滑曲线即可．设第一次速度为零的时刻为t₃，t₂到t₃时间内物体做加速度增大的减速运动，画一段斜率逐渐增大的平滑曲线即可，
如图所示：
答：（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t₁为$\sqrt{\frac{2{s}_{0}}{gsinθ}}$
（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为v_m，求滑块从静止释放到速度大小为v_m过程中弹簧的弹力所做的功W为$\frac{1}{2}{mv}_{m}^{2}-mgsinθ（{s}_{0}+\frac{mgsinθ}{k}）$．
（3）的整个过程中速度与时间关系图象如上图

点评 本题考查有变力做功时动能定律的应用，以及匀变速直线运动规律的综合应用．第二问的关键是正确写出动能定理方程．第三问画图象更是要弄清楚曲线的斜率．这是一个易出错的中档题．