Question

18．如图所示，空间有磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场，两平行光滑金属导轨水平放置，其电阻不计、间距为L，左端接有电阻为R的定值电阻．一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨接触良好，在水平力F作用下在O位置两M、N间做往复运动．t=0时刻起导体棒从M位置开始向右运动，其速度变化规律为v=v_msinωt，在O位置速度最大．
（1）写出定值电阻中的电流i随时间t变化的表达式；
（2）导体棒从M位置开始运动到O位置的过程中，经过的时间t=$\frac{π}{2ω}$，求定值电阻中产生的焦耳热Q及水平力F做的功W；
（3）单匝线框在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动产生电流的情形与题中导体棒运动产生电流的情形类似．试求导体棒从M位置运动到O位置的过程中，通过定值电阻的电荷量q．

Answer 1

分析 （1）由导体棒运动时的速度表达式v=v_msinωt，结合的感应电动势公式E=BLv以及闭合电路欧姆定律求出电流i随时间t变化的表达式．
（2）回路中产生的是正弦式电流，求出电动势的最大值E_m，有效值为 E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m，电流有效值为 I=$\frac{E}{R+r}$，根据焦耳定律用有效值求解焦耳热．从t=0到t=$\frac{π}{2ω}$时间内外力F所做的功将外界的能量转化为动能和内能，根据能量守恒定律求解外力做功．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量的公式结合求通过定值电阻的电荷量q．

解答 解：（1）导体棒运动时的速度为 v=v_msinωt，产生的感应电动势为：
e=BLv=BLv_msinωt
由欧姆定律得：导体棒中的电流为：i=$\frac{e}{2R}$
则电流i随时间t变化的表达式为：i=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$sinωt
（2）导体棒中产生的感应电动势的最大值为：E_m=BLv_m
有效值为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m．
通过R的电流的有效值为：I=$\frac{E}{2R}$，
电阻R产生的热量为：Q=I²Rt
解得：Q=$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{16Rω}$
由功能关系可知：W=2Q+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
解得：W=$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{8Rω}$+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
（3）由题意可知：E_m=BSω
而△Φ=BS=$\frac{{E}_{m}}{ω}$
平均感应电动势为：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
平均感应电流为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$
通过定值电阻的电荷量为：q=$\overline{I}$△t
联立解得：q=$\frac{BL{v}_{m}}{2Rω}$
答：（1）定值电阻中的电流i随时间t变化的表达式是i=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$sinωt；
（2）导体棒从M位置开始运动到O位置的过程中，经过的时间t=$\frac{π}{2ω}$，定值电阻中产生的焦耳热Q是$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{16Rω}$，水平力F做的功W是$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{8Rω}$+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$．
（3）通过定值电阻的电荷量是$\frac{BL{v}_{m}}{2Rω}$．

点评 解决本题的关键要建立模型，能够把电磁感应和功能关系结合解决问题．知道本题是产生正弦交变电流的一种，求焦耳热必须用有效值．