Question

10．07年10月24日，我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星，11月5日进入月球轨道后，经历3次轨道调整，进入工作轨道．若卫星在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径为R₂，地球表面处的重力加速度为g，则（　　）

• A． 月球的质量与地球的质量之比$\frac{{{G}_{1}{R}_{2}}^{2}}{{{{G}_{2}R}_{1}}^{2}}$
• B． 月球表面处的重力加速度g_月为$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$g
• C． 月球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{2}}{{G}_{2}{R}_{1}}}$
• D． 卫星在距月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期T_月为2π$\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{{gG}_{2}}}$

Answer 1

分析 A、根据万有引力等于重力G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，求出月球和地球的质量之比．
B、根据卫星在地球表面和月球表面的重力之比知重力加速度之比，从而求出月球表面的重力加速度．
C、根据mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，求出月球和地球的第一宇宙速度之比．
D、根据mg_月=mR₂（$\frac{2π}{{T}_{月}^{\;}}$）²，求出卫星在月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期．

解答 解：A、根据万有引力等于重力，有 G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，知M=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$．中心天体的质量与半径和表面的重力加速度有关．所以月球的质量和地球的质量之比为 $\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}$=$\frac{{g}_{月}^{\;}}{g}$$•\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}$=$\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}$．故A错误．
B、卫星在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，则 $\frac{{g}_{月}^{\;}}{g}=\frac{{G}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}}$，所以g_月=$\frac{{G}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}}$g．故B正确．
C、根据mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，知第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，而$\frac{{g}_{月}^{\;}}{g}$=$\frac{{G}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}}$，所以第一宇宙速度之比为 $\frac{{v}_{月}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}}$．故C错误．
D、根据mg_月=mR₂（$\frac{2π}{{T}_{月}^{\;}}$）²，得T_月=2π $\sqrt{\frac{{R}_{2}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}}$，而g_月=$\frac{{G}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}}$，所以T_月=2π$\sqrt{\frac{{R}_{2}^{\;}{G}_{1}^{\;}}{g{G}_{2}^{\;}}}$．故D正确．
故选：BD

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力，知道卫星在月球表面轨道做圆周运动，靠重力提供向心力．