Question

9．一质量为m=4kg的小球从光滑的斜面上高h=4m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆环，如图所示，求：
（1）小球滑到圆环最低点B时对圆环的压力的大小；
（2）小球至少应从多高处由静止滑下才能越过圆环最高点？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）先根据机械能守恒求出小球通过圆环最低点时的速度，再由牛顿第二定律求出圆环对小球的支持力，即可求得小球对圆环的压力．
（2）小球恰能通过圆轨道的最高点，重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式；整个过程中只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律列方程；最后联立求解即可．

解答 解：（1）小球从静止开始到圆环顶点的过程，由机械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在圆环最低点B时，对小球，由牛顿第二定律有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=360N
根据牛顿第三定律得：小球滑至圆环顶点时对环的压力：N′=N=360N
（2）设小球从离最低点高度为H的地方下滑，在轨道最高点的速度为v′，则：
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
在最高点，由重力提供向心力，有：mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$
由上两式得：H=2.5R=2.5m；
则小球应从大于等于2.5m范围内由静止滑下才能使小球在圆环上做完整的圆周运动．
答：（1）小球滑到圆环最低点B时对圆环的压力的大小是360N；
（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下才能越过圆环最高点．

点评 本题关键是明确小球的运动规律，然后根据牛顿第二定律和机械能守恒定律列方程联立求解；要明确小球恰好经过最高点时重力恰好提供向心力．