Question

14．如图所示，水平放置的圆盘上，在其边缘C点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为R=1m，在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条水平固定的滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度为h=1.25m．在滑道左端静止放置一质量为m=0.4kg的物块（可视为质点），物块与滑道的动摩擦因数为μ=0.2．现用力F=4N的水平作用力向右拉动物块，同时圆盘从图示位置以角速度ω=2πrad/s，绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块一段时间后撤掉，最终物块由B点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内．重力加速度g=10m/s²．
（1）物块从B点水平抛出时的速度；
（2）若拉力作用时间为0.5s，求所需滑道的长度．
（3）拉力作用的最短时间．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度求出平抛运动的时间，结合水平位移求出平抛运动的初速度．
（2）根据牛顿第二定律分别求出撤去拉力前后的加速度．根据位移时间公式求出匀加速运动的位移，速度位移公式求出匀减速运动的位移，从而求出滑道的长度．
（3）盘转过一圈时落入，拉力时间最短，结合盘转动的周期，结合匀加速和匀减速运动的时间以及在空中的运动时间之后等于盘的周期，求出力作用的最短时间．

解答 解：（1）物块从B点离开后做平抛运动，则有：
   h=$\frac{1}{2}$gt²；
得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$s=0.5s
物块离开滑道时的速度：v=$\frac{R}{t}$=$\frac{1}{0.5}$=2m/s
（2）拉动物块时的加速度为a₁，由牛顿第二定律：F-μmg=ma₁
代入数据得：a₁=8m/s²
撤去拉力后，由牛顿第二定律得：
-μmg=ma₂；
代入数据得：a₂=-2m/s²
物块加速的末速度：v₁=a₁t₁′=8×0.5=4m/s
则板长为：L=x₁+x₂=$\frac{1}{2}$a₁t₁′²+$\frac{{v}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×8×0.25+$\frac{4-16}{2×（-2）}$=4m．
（3）盘转过一圈时落入，拉力时间最短；盘转过一圈时间为：
  T=$\frac{2π}{ω}$=1s
物块在滑道上先加速后减速，有：v=a₁t₁+a₂t₂
物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t₁+t₂+t=T
由上两式得：t₁=0.3s．
答：（1）物块离开B点水平抛出的初速度为2m/s；
（2）所需滑道的长度L为4m；
（3）拉力作用的最短时间为0.3s

点评 解决本题的关键理清滑块在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式灵活求解，知道圆盘转过一圈时落入，拉力时间最短．