Question

17．如图所示，在轻杆两端分别固定两个球AB，A球质量m_A=m，B球质量m_B=2m，轻杆可以绕固定轴O转动，不计杆与转轴间的摩擦，两球到转动轴O的距离都为L，开始时杆处于水平状态，放手后，杆转到竖直位置，如图中虚线所示，重力加速度为g，则：
（1）以B球在最低点的位置为零势能面，求杆水平时A球的重力势能；
（2）杆从水平位置转到竖直位置的过程中，两球构成的系统的重力势能减少量；
（3）B球到达最低点时，A球的速度大小；
（4）上述过程中杆对A球做的功．

Answer 1

分析 （1）以B球在最低点的位置为零势能面，根据公式E_p=mgh求杆水平时A球的重力势能．
（2）分别求出两球在水平位置和竖直位置时总的重力势能，再求得系统的重力势能减少量．
（3）因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律即可求出A球的速度．
（4）对A球运用动能定理求杆对A球做的功．

解答 解：（1）以B球在最低点的位置为零势能面，杆水平时A球的重力势能为：E_pA=mgL；
（2）在水平位置时，两球的重力势能为：E_p1=mgL+2mgL=3mgL；
在竖直位置时，两球的重力势能：E_p2=mg•2L+0=2mgL
则系统重力势能减小量为：△E_p=E_p1-E_p2=mgL
（3）B球到达最低点时，设A、B的速度均为v，则由机械能守恒定律可知：
△E_p=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2}{3}gL}$
（4）对A球，由动能定理有：W-mgL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得，杆对A球做的功为：W=$\frac{4}{3}$mgL．
答：（1）以B球在最低点的位置为零势能面，杆水平时A球的重力势能是mgL；
（2）杆从水平位置转到竖直位置的过程中，两球构成的系统的重力势能减少量是mgL；
（3）B球到达最低点时，A球的速度大小是$\sqrt{\frac{2}{3}gL}$；
（4）上述过程中杆对A球做的功是$\frac{4}{3}$mgL．

点评 本题关键是A、B球机械能均不守恒，但A与B系统机械能守恒，根据机械能守恒定律可求出两球的速度．要知道动能定理是求功，特别是变力做功常用的方法．