Question

7．如图所示，两块靠近并平行的长板AC、ac竖直固定在水平地面上，两长板的AB、ab段均光滑，BC、bc段是动摩擦因数μ=0.5的粗糙面，AB、BC、ab、bc段长度均为5m，P点离地高度2.9m．质量均为1kg的相同甲、乙两小物块中间固定一压缩的轻质弹簧，该弹簧被压缩了2cm，此弹簧的劲度系数为k=500N/m．两物块在A、a位置由静止同时释放，已知物块碰撞地面后以碰地时同样大小的速度反弹，与地碰撞时间忽略不计．（不计空气阻力，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，g取10m/s²）求：
（1）弹簧对甲物块的弹力大小；
（2）甲从释放到第一次达到B点所经历的时间；
（3）甲从释放开始，需多长时间经过P点．

Answer 1

分析 （1）根据胡克定律即可求出弹力的大小；
（2）AB段是光滑的，小物块不受摩擦力，在竖直方向做自由落体运动，由位移公式即可求出时间；
（3）小物块先向下经过P点，被地面反弹后可能仍然能够经过P点，试分析计算即可求出可能的情况．

解答 解：（1）由胡克定律，弹簧对甲物块的弹力：
F=kx=500×0.02=10N
（2）AB段是光滑的，小物块在竖直方向做自由落体运动，由位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×5}{10}}=1$s
（3）甲到达B时的速度：v₁=gt=10×1=10m/s
设甲从B到P的时间是t₁，则：BP=5m-2.9m=2.1m
物块在BC之间的加速度a：ma=mg-μF_N=mg-μF
代入数据得：a=5m/s²
$BP={v}_{1}{t}_{1}+\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
代入数据得：t₁=0.2s（另一个解不合题意）
所以甲到达P的时间：t_P1=t+t₁=1+0.2=1.2s
由公式：$2ax={v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$
物块到达C的速度：${v}_{2}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+2ax}=\sqrt{1{0}^{2}+2×5×5}=\sqrt{150}$m/s
B到C的时间：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{a}=\frac{\sqrt{150}-10}{5}≈0.45$s
物块向上运动的过程中重力与摩擦力的方向都向下，则：
ma′=mg+μF_N=mg+μF
代入数据得：a′=15m/s²
若物块上升的过程中仍然能到达P，则到达P的速度v₃：$-2a′•CP={v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}$
得：${v}_{3}=\sqrt{13}$m/s＞0
C到P的时间：${t}_{3}=\frac{{v}_{3}-{v}_{2}}{-a′}=\frac{\sqrt{13}-\sqrt{150}}{-15}≈0.576$s
物块甲返回P点时用的总时间：t_P2=t+t₂+t₃=1+0.45+0.576=2.026s
物块继续上升的过程中到达的最大高度：
仍然能到达B，则到达B的速度v₄：$-2a′h={v}_{4}^{2}-{v}_{2}^{2}$
得：v₄=0
P到B的时间：${t}_{4}=\frac{0-{v}_{3}}{-a′}=\frac{\sqrt{13}}{15}=0.24$s
从B向下运动的过程中：$BP=\frac{1}{2}a{t}_{5}^{2}$
${t}_{5}=\sqrt{\frac{2•BP}{a}}=\sqrt{\frac{2×2.1}{5}}=0.917$s
物块第三次到达P的时间：t_P3=t+t₂+t₄+t₅=1+0.45+0.24+0.917=2.607s
由B到达C的速度v₅，$2ah={v}_{5}^{2}-{v}_{4}^{2}$
代入数据得：${v}_{5}=5\sqrt{2}$m/s
物块甲还能上式的最大高度h″，则：
$2a′h″={v}_{5}^{2}$
得：$h″=\frac{5}{3}m＜2.9m$
所以物块甲不能再到达P点．物块甲经过P的次数共三次．
答：（1）弹簧对甲物块的弹力大小是10N；
（2）甲从释放到第一次达到B点所经历的时间是1s；
（3）甲从释放开始，物块甲三次经过P点的时间分别是1.2s，2.026s和2.607s．

点评 该题的前两问比较简单，分别由胡克定律和自由落体运动的公式即可求出．该题的第三问要注意的是物块甲反弹的过程中可能多次经过P点，要分别对可能的情况进行讨论，不能由遗漏．