Question

3．倾斜角度等于$\frac{π}{3}$的轻杆在末端和两个半径R=0.4m的四分之一圆弧轨道拼接，如图示，两个圆弧的圆心等高，C点切线水平，距离C点水平距离0.8m的MN为水平凹槽，其宽度为0.4m．小球套在轻杆上从某一点静止释放后穿过轨道从C点抛出，落在凹槽中．已知斜面和小球之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，圆弧轨道光滑．整个装置在同一个竖直平面内，斜面低端和凹槽M在同一水平线上．重力加速度g=10m/s²．

（1）小球离开C点时的速度多大才能落N点？
（2）落在M点的小球在C处时，轨道对小球的作用力多大？
（3）小球在斜面上离B点多少距离处释放才能落在水平凹槽中？

Answer 1

分析 （1）小球离开C点时做平抛运动，已知平抛运动的水平位移和竖直位移，由分位移公式可求得C点的速度；
（2）先由平抛运动的规律得到小球要落在M点，经过C点的速度，在C点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求解；
（3）根据落在凹槽中时C点的速度范围，由动能定理求解球在斜面上离B点多少距离处释放．

解答 解：（1）小球离开C点时做平抛运动，则有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：$t=\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{\frac{4×0.4}{10}}s=0.4s$，
d+△d=v_C1t
联立解得：v_C1=$\frac{0.8+0.4}{0.4}m/s$=3m/s；
（2）小球落在M点时在C点的速度为：${v}_{C2}=\frac{d}{t}=\frac{0.8}{0.4}m/s=2m/s$，
设轨道对小球的作用力大小为F，则在C点有：mg+F=m$\frac{{v}_{C2}^{2}}{R}$，
解得：F=0；
（3）小球要落在凹槽中，经过C点的速度大小范围为：2m/s≤v_C≤3m/s
从小球释放滑到C点，根据动能定理得：mg（xsinθ-2R）-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
联立以上式子，得：$\sqrt{3}m＜x＜\frac{5\sqrt{3}}{4}m$，
所以小球在杆上离B点$\sqrt{3}m～\frac{5\sqrt{3}}{4}m$才能落到凹槽中．
答：（1）小球离开C点时的速度为3m/s时才能落N点；
（2）落在M点的小球在C处时，轨道对小球的作用力为0；
（3）小球在斜面上离B点$\sqrt{3}m～\frac{5\sqrt{3}}{4}m$才能落到凹槽中．

点评 对于平抛运动，要熟练运用运动的分解法研究，要知道平抛运动的时间由下落的高度决定的，高度一定时下落时间是相等的；
利用动能定理解题时注意：（1）分析物体受力情况，确定哪些力是恒力，哪些力是变力；（2）找出其中恒力的功及变力的功；（3）分析物体初末状态，求出动能变化量；（4）运用动能定理求解．