Question

8．一质量为m=2×10³kg的小轿车，驶过半径R=80m的一段圆弧形桥面，重力加速度g取10m/s²，求：
①若桥面是凹形桥，汽车以20m/s的速度通过桥的最低点时，对桥面压力多大？
②若桥面是凸形桥，汽车以10m/s的速度通过桥的最高点时，对桥面压力多大？
③汽车以多大速度通过凸形桥顶点时，对桥面刚好无压力？

Answer 1

分析 汽车受重力和向上的支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式即可求解出支持力，压力与支持力是作用力与反作用力，大小相等；当对桥面刚好没有压力时，只受重力，重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式即可求解．

解答 解：（1）若桥面为凹形，在最低点有：
 ${F}_{N1}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N1}=mg+m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$=20000+2000×5N=30000N
即汽车对桥的压力为30000N．
（2）若桥面为凸形，在最高点有：
${mg-F}_{N2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N2}=mg-m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$=20000-2500N=17500N
即汽车对桥的压力为17500N．
（3）当对桥面刚好没有压力时，只受重力，重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$=20$\sqrt{2}$m/s
答：（1）若桥面为凹形，轿车以20m/s的速度通过桥面最底点时，对桥面压力是30000N；
（2）若桥面为凸形，轿车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是17500N；
（3）桥车以20$\sqrt{2}$m/s的速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．

点评 汽车过拱桥关键在于找到向心力来源，然后根据合力等于向心力列式求解，难度适中．