Question

10．近一段时间，“嫦娥一号”卫星是国人乃至全世界最关注的事件之一．某同学在新闻报道中收集了一些关于“嫦娥一号”的数据：“嫦娥一号”卫星最终进入的工作轨道是距离月球表面h=200km、周期T₁=127min的极月圆轨道，但他没有找到月球半径的数据报道，于是他想利用自己学过的物理知识来算出月球的半径R_月．他又从学习资料上查到一些数据：月球的质量M_月=7.4×10²²kg，月球绕地球作圆周运动的周期T₂=30天、轨道半径r_月=3.8×10⁵km，万有引力恒量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．
根据以上数据，他写出了求解月球半径的表达式：$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{（{R}_{月}+h）^{3}}$=$\frac{{{T}_{2}}^{2}}{{{r}_{月}}^{3}}$
你认为他的这个表达式正确吗？如果正确，请利用万有引力和圆周运动公式写出推导上述表达式的过程，并求出R_月的表达式（用字母表示）；如果你认为这个表达式是错误的，请利用上述物理量写出正确的月球半径R_月的表达式（只需用字母表示）及推导过程．

Answer 1

分析 卫星绕月球转和月球绕地球转的中心天体不同，则轨道半径的三次方和周期的二次方比值不同，不能用这种方法求解月球的半径．根据万有引力提供向心力，通过卫星的周期和高度以及月球的质量求出月球的半径．

解答 解：这个表达式是错误的．因为卫星绕月球转和月球绕地球转的中心天体不同，则轨道半径的三次方和周期的二次方比值不同．
根据“嫦娥一号”卫星受到的月球的万有引力提供向心力得：G$\frac{{M}_{月}{m}_{卫星}}{（{R}_{月}+{h}^{）2}}$=m_卫星$\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$（R_月+h）
将公式变形得：（R_月+h）³=$\frac{{{T}_{1}}^{2}G{M}_{月}}{4{π}^{2}}$
解得   R_月=$\root{3}{{\frac{{{T_1}^2G{M_月}}}{{4{π^2}}}}}$-h．
答：该同学表达式是错的，R_月的表达式 R_月=$\root{3}{{\frac{{{T_1}^2G{M_月}}}{{4{π^2}}}}}$-h．

点评 该题考查对万有引力定律的理解与应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．