Question

12．小球A在离地20m处由静止开始自由下落，与此同时在A的正下方地面上以初速度v₀竖直上抛另一小球B，若A、B能在空中相遇，忽略空气阻力，（g=10m/s²），求：
（1）A、B在空中相遇时，B运动的时间？
（2）A、B在空中相遇时，A下落的高度？
（3）要使A、B在空中相遇，v₀需满足的条件？

Answer 1

分析 （1）小球B做竖直上抛运动，可看成一种匀减速直线运动．两球在空中运动的时间相同，则根据位移-时间公式分别表示出A和B的位移大小，由相遇的条件可知两物体的位移之和等于H，即可求得相遇时运动的时间；
（2）由时间根据自由落体运动的位移时间关系可求相遇的高度；
（3）v₀需满足的条件相遇的时间要小于B球上抛的总时间．

解答 解：（1）设经过时间t，A、B在空中相碰，A球做自由落体运动的位移为：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
B球做竖直上抛运动的位移为：${h}_{2}={v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
由几何关系有：h₁+h₂=20，
联立以上各式解得：t=$\frac{20}{{v}_{0}}$；
（2）A、B相遇时，A在t时间内下落的高度为：${h}_{A}=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×（\frac{20}{{v}_{0}}）^{2}=\frac{2000}{{v}_{0}^{2}}$，
（3）A、B要在空中相遇，则v₀需满足的条件为，相遇的时间要小于B球上抛的总时间：$\frac{20}{{v}_{0}}＜\frac{2{v}_{0}}{g}$，
即：${v}_{0}＞\sqrt{10g}$，代入数据得：v₀＞10m/s．
答：（1）A、B在空中相遇时，B运动的时间为$\frac{20}{{v}_{0}}$；
（2）A、B在空中相遇时，A下落的高度为$\frac{2000}{{v}_{0}^{2}}$；
（3）要使A、B在空中相遇，v₀需大于10m/s．

点评 解决本题的关键知道两物体在空中相碰，两物体的位移之和等于H，结合物体运动时间的范围，求出初始度的范围．