Question

11．在某生产车间的流水线中，有一装有货物的小车从倾角为 θ 的光滑斜坡上下滑，撞击挡板后停下，货物被工人取走（如图 1）．为了减少小车对挡板的冲击，某同学设想了一个电磁缓冲装置，在小车的底部固定与小车前端平齐、匝数为 n、边长为 L、总电阻为 R 的正方形闭合线框；在斜坡的下端加上宽度同为 L 的匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直斜坡向下，如图2所示（小车未画出）．若小车和货物的总质量为 m₁，线框的质量为 m₂，小车在线框的下边离底部挡板距离为 d 时静止释放，线圈进入磁场后，小车立即做减速运动，已知小车在撞击挡板前已经匀速运动．求：

（1）线框刚进入磁场时的速度 v 大小和小车匀速运动的速度 v₂ 大小；
（2）若采用适当粗些的导线绕制线框，保持匝数、边长、形状不变，能否减小小车匀速运动的速度，从而增大缓冲的效果？请说明理由．
（3）小车运动过程中线框产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）研究小车下滑d距离的过程，由机械能守恒定律求线框刚进入磁场时的速度 v 大小．小车匀速运动时，合力为零，推导出安培力与速度的关系，再由平衡条件求速度 v₂ 大小．
（2）根据v₂ 的表达式，分析v₂的大小与哪些因素有关．
（3）根据能量守恒定律求小车运动过程中线框产生的焦耳热．

解答 解：（1）小车下滑d距离的过程，由机械能守恒定律得：
（m₁+m₂）gsinθ=$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
可得：v=$\sqrt{2gdsinθ}$
小车匀速运动时，所受的安培力大小为：
F=nBIL=nB$\frac{nBL{v}_{2}}{R}$L=$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
由平衡条件得：（m₁+m₂）gsinθ=F
联立解得：v₂=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）gRsinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）由v₂=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）gRsinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$得：v₂=$\frac{（{m}_{1}+{ρ}_{密}•n4LS）g•\frac{{ρ}_{电}•n4L}{S}sinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{4（\frac{{m}_{1}}{S}+4n{ρ}_{密}L）g{ρ}_{电}sinθ}{n{B}^{2}{L}^{2}}$
则知，保持匝数、边长、形状不变，导线加粗时，截面积S增大，由上式知能减小小车匀速运动的速度v₂，从而增大缓冲的效果．
（3）根据能量守恒定律，小车运动过程中线框产生的焦耳热为：
Q=（m₁+m₂）gLsinθ+[$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}_{2}^{2}$]
联立解得：Q=（m₁+m₂）g（L+d）sinθ-$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）线框刚进入磁场时的速度 v 大小和小车匀速运动的速度 v₂ 大小分别为$\sqrt{2gdsinθ}$和$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）gRsinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）能减小小车匀速运动的速度，从而增大缓冲的效果．
（3）小车运动过程中线框产生的焦耳热为（m₁+m₂）g（L+d）sinθ-$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题要能正确分析小车及线框的受力情况，根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律熟练推导安培力与速度的关系式是关键．解题时要注意线框的匝数．